Удаалаштыктар жана прогрессиялар

Предметтик тестте арифметикалык жана геометриялык прогрессиялар, ошондой эле эреже менен берилген удаалаштыктар («ар бир кийинки мүчөсү … барабар») кездешет.

Арифметикалык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурунку мүчөгө бир эле d санын (прогрессиянын айырмасын) кошуудан алынат.

• $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$
• $\displaystyle a_{m} - a_{k} = (m - k)d$
• $\displaystyle S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \times \frac{n}{2}$
• Ар бир мүчө коңшуларынын орто арифметикалыгы: $\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

1-мисал. $\displaystyle a_{3} = 7$, $\displaystyle a_{8} = 22$. $\displaystyle S_{10}$ ду тапкыла. $\displaystyle a_{8} - a_{3} = 5d = 15$, $\displaystyle d = 3$, $\displaystyle a_{1} = 7 - 2 \times 3 = 1$, $\displaystyle a_{10} = 1 + 9 \times 3 = 28$. $\displaystyle S_{10} = (1 + 28) \times \frac{10}{2} = 145$.

Геометриялык прогрессия

Ар бир мүчөсү мурункусун бир эле q санына (прогрессиянын бөлүмүнө) көбөйтүүдөн алынат, $\displaystyle q \ne 0$.

• $\displaystyle b_{n} = b_{1} \times q^{n-1}$
• $\displaystyle \frac{b_{m}}{b_{k}} = q^{m - k}$ — тест үчүн эң пайдалуу формула
• $\displaystyle q \ne 1$ болгондо $\displaystyle S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1}$
• Чексиз кемүүчү прогрессия ($\displaystyle \lvert q \rvert < 1$): $\displaystyle S = \frac{b_{1}}{1 - q}$
• $\displaystyle b_{n}^{2} = b_{n-1} \times b_{n+1}$

2-мисал. Геометриялык прогрессиянын жетинчи мүчөсү төртүнчүсүнөн 2 эсе чоң. Он үчүнчү мүчөсү төртүнчүсүнөн канча эсе чоң? $\displaystyle \frac{b_{7}}{b_{4}} = q^{3} = 2$. $\displaystyle \frac{b_{13}}{b_{4}} = q^{9} = (q^{3})^{3} = 8$. Жообу: 8 эсе. Байкагыла: q ну табуунун кереги жок, керектүү даражаны $\displaystyle q^{3}$ аркылуу туюнтуу жетиштүү.

3-мисал. $\displaystyle 3 + 6 + 12 + \ldots + 192$. $\displaystyle q = 2$, $\displaystyle 192 = 3 \times 64 = 3 \times 2^{6}$, демек мүчөлөр жетөө. $\displaystyle S_{7} = 3 \times \frac{2^{7} - 1}{2 - 1} = 3 \times 127 = 381$.

4-мисал. $\displaystyle 12 + 6 + 3 + \ldots$ (чексиз). $\displaystyle q = \frac{1}{2}$, $\displaystyle S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24$.

Эреже менен берилген удаалаштыктар

Формула жок болсо, мүчөлөрдү ирети менен жазып чыга бергиле.

5-мисал. $\displaystyle a_{1} = 1$, $\displaystyle a_{2} = 2$, ал эми үчүнчүсүнөн баштап ар бир мүчө алдындагы эки мүчөнүн көбөйтүндүсүнө барабар. $\displaystyle a_{6}$ ны тапкыла. $\displaystyle a_{3} = 1 \times 2 = 2$, $\displaystyle a_{4} = 2 \times 2 = 4$, $\displaystyle a_{5} = 2 \times 4 = 8$, $\displaystyle a_{6} = 4 \times 8 = 32$.

6-мисал. Экинчисинен баштап ар бир мүчө мурунку мүчөнүн эки эселенгенинен 3кө кичине, $\displaystyle a_{1} = 5$. $\displaystyle a_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$, $\displaystyle a_{3} = 11$, $\displaystyle a_{4} = 19$, $\displaystyle a_{5} = 35$.

Көп кетирилген каталар

• Мүчөнүн номерин нөлдөн баштап эсептөө: $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ формуласында $\displaystyle n - 1$ турат.
• «Канча эсе» деген маселелерде номерлерди туура эмес кемитүү: $\displaystyle \frac{b_{10}}{b_{4}} = q^{6}$, $\displaystyle q^{4}$ эмес.
• «Алдындагы эки мүчөнүн суммасына барабар» менен «алдындагы бардык мүчөлөрдүн суммасына барабар» дегенди чаташтыруу. Мүчөлөрдү жазуудан мурун шартты кайра окугула.