Көрсөткүчтүү жана логарифмдик теңдемелер, барабарсыздыктар

Бул тапшырмалар бир негизги эрежени текшерет: $\displaystyle y = a^{x}$ жана $\displaystyle y = \log_{a}x$ функциялары негизге жараша кандай өзгөрөт.

Баарын монотондуулук чечет

• $\displaystyle a > 1$ болсо, $\displaystyle a^{x}$ жана $\displaystyle \log_{a}x$ өсүүчү: барабарсыздыктын белгиси сакталат.
• $\displaystyle 0 < a < 1$ болсо, алар кемүүчү: барабарсыздыктын белгиси карама-каршыга өзгөрөт.
• Каалагандай x те $\displaystyle a^{x} > 0$; ошондуктан $\displaystyle a^{x}$ ке тынч эле бөлүп же көбөйтүүгө болот — белги өзгөрбөйт.
• $\displaystyle \log_{a}x$ $\displaystyle x > 0$ болгондо гана аныкталган (муну дайыма текшериш керек).

Көрсөткүчтүү теңдемелер

Эки бөлүгүн тең бир негизге келтиргиле же жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгаргыла.

1-мисал. $\displaystyle 2^{x - 1} = 32 = 2^{5}$, демек $\displaystyle x - 1 = 5$, $\displaystyle x = 6$.

2-мисал. $\displaystyle 5^{x + 1} + 3 \times 5^{x} = 200$. $\displaystyle 5^{x + 1} = 5 \times 5^{x}$, ошондуктан $\displaystyle 5^{x} \times (5 + 3) = 200$, $\displaystyle 5^{x} = 25$, $\displaystyle x = 2$. Эгерде тапшырмада x тин ордуна, мисалы, $\displaystyle 2 \times 5^{x + 1}$ суралса, x ти издөөнүн кереги жок: $\displaystyle 2 \times 5 \times 25 = 250$.

Көрсөткүчтүү барабарсыздыктар

3-мисал. $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \frac{1}{27}$. $\displaystyle \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}$. Негизи $\displaystyle \frac{1}{3} < 1$, белги өзгөрөт: $\displaystyle 2x - 1 \le 3$, $\displaystyle x \le 2$. Жообу: $\displaystyle (-\infty;\ 2]$.

4-мисал. $\displaystyle (x + 2) \times 2^{x} \le 0$. $\displaystyle 2^{x} > 0$ болгондуктан $\displaystyle x + 2 \le 0$ жетиштүү, башкача айтканда $\displaystyle x \le -2$.

Логарифмдик теңдемелер

5-мисал. $\displaystyle \lg x + \lg(x - 3) = 1$. Мүмкүн болгон маанилер: $\displaystyle x > 3$. Анда $\displaystyle \lg(x(x - 3)) = \lg 10$, $\displaystyle x^{2} - 3x - 10 = 0$, $\displaystyle x = 5$ же $\displaystyle x = -2$. $\displaystyle x = -2$ туура келбейт. Жообу: $\displaystyle x = 5$.

Логарифмдик барабарсыздыктар

6-мисал. $\displaystyle \log_{2}(x - 1) < 3$. Шарттар: $\displaystyle x - 1 > 0$ жана $\displaystyle x - 1 < 2^{3} = 8$. Демек, $\displaystyle 1 < x < 9$. Бүтүн чыгарылыштар жетөө: 2, 3, …, 8.

7-мисал. $\displaystyle \log_{0{,}5}(x + 3) > -1$. $\displaystyle -1 = \log_{0{,}5}2$, негизи 1ден кичине, белги өзгөрөт: $\displaystyle 0 < x + 3 < 2$, башкача айтканда $\displaystyle -3 < x < -1$.

8-мисал. $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} < 4$. Туюнтма $\displaystyle x + 1 > 0$ болгондо маанилүү, ошондо $\displaystyle 10^{\lg(x + 1)} = x + 1$. Натыйжада $\displaystyle -1 < x < 3$.

Көп кетирилген каталар

• Негизи 1ден кичине болгондо (мисалы 0,7 же $\displaystyle \frac{1}{3}$) белгини өзгөртпөй коюу.
• Логарифмдин аныкталуу аймагын унутуп, жоопко «ашыкча» тамырды кошуу.
• $\displaystyle 10^{\lg a} = a$ ны каалагандай a үчүн туура деп эсептөө: бул $\displaystyle a > 0$ болгондо гана туура.
• «Эң кичине бүтүн чыгарылыш» деген суроодо чек ара чекитин текшергиле: ал барабарсыздык катаал эмес болгондо гана кирет.