Квадраттык функция, Виет теоремасы жана интервалдар методу

Парабола, квадраттык теңдеменин тамырлары жана көбөйтүүчүлөрү бар барабарсыздыктар — предметтик тесттин көп кездешкен темалары.

$\displaystyle y = ax^{2} + bx + c$ квадраттык функциясы

• $\displaystyle a > 0$ болсо бутактары жогору карайт (чокусунда минимум), $\displaystyle a < 0$ болсо ылдый карайт (чокусунда максимум).
• Чокусунун абсциссасы $\displaystyle x_{0} = -\frac{b}{2a}$; чокудагы мааниси $\displaystyle y_{0} = y(x_{0})$.
• c — Oy огу менен кесилишкен чекит.
• $\displaystyle x_{1}$ жана $\displaystyle x_{2}$ тамырлары белгилүү болсо, $\displaystyle ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$, ал эми чокусу алардын так ортосунда: $\displaystyle x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$.

Дискриминант жана Виет теоремасы

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac$. $\displaystyle D > 0$ болсо эки тамыр, $\displaystyle D = 0$ болсо бир тамыр, $\displaystyle D < 0$ болсо анык тамыр жок. Виет теоремасы: $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$, $\displaystyle x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$.

1-мисал. Топтун бийиктиги $\displaystyle h = 20t - 5t^{2}$ (метр, секунд). Топ качан эң бийик болот жана кандай бийиктикте? $\displaystyle a = -5 < 0$, чокусу $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ с, $\displaystyle h(2) = 40 - 20 = 20$ м. Топ $\displaystyle h = 0$ болгондо жерге түшөт: $\displaystyle 5t(4 - t) = 0$, $\displaystyle t = 4$ с.

2-мисал. $\displaystyle y = 3x^{2} + bx + c$, тамырлары 1 жана $\displaystyle -4$. b жана c ны тапкыла. $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -3 = -\frac{b}{3}$, $\displaystyle b = 9$. $\displaystyle x_{1}x_{2} = -4 = \frac{c}{3}$, $\displaystyle c = -12$.

3-мисал. $\displaystyle (x^{2} - 4x)(x^{2} + x + 1) = 0$ теңдемесинин канча анык тамыры бар? $\displaystyle x^{2} - 4x = x(x - 4) = 0$: тамырлары 0 жана 4. $\displaystyle x^{2} + x + 1$ дин дискриминанты $\displaystyle 1 - 4 < 0$, тамыры жок. Жообу: 2.

Интервалдар методу

$\displaystyle (x - a)(x - b)\ldots \ge 0$ түрүндөгү барабарсыздык же бөлчөк үчүн:

1. Бардык көбөйтүүчүлөрдүн нөлдөрүн (жана бөлүмдүн нөлдөрүн) тапкыла.
2. Аларды сан огуна белгилеп, ар бир аралыктагы белгини бир санды коюп аныктагыла.
3. Жуп эселүү тамыр (квадраттагы көбөйтүүчү) аркылуу өткөндө белги өзгөрбөйт.
4. $\displaystyle 3^{x}$ же $\displaystyle x^{2} + 1$ сыяктуу оң көбөйтүүчүлөрдү дароо эле таштап салса болот.

4-мисал. $\displaystyle (x + 2)(x - 1)^{2}(x - 4) \ge 0$. Нөлдөрү: $\displaystyle -2$, 1, 4. 4төн оң жакта белги «+», 1 менен 4түн ортосунда «−», 1 аркылуу өткөндө белги өзгөрбөйт (квадрат) — дагы «−», $\displaystyle -2$ден сол жакта кайра «+». Барабарсыздык катаал эмес, ошондуктан нөлдөрдү кошобуз: $\displaystyle x \le -2$, $\displaystyle x = 1$, $\displaystyle x \ge 4$. Обочолонгон $\displaystyle x = 1$ чекитин жоготуп коюу оңой!

5-мисал. $\displaystyle \frac{x^{2}(x + 1)}{5^{x}} \le 0$ барабарсыздыгынын эң чоң бүтүн чыгарылышы. $\displaystyle 5^{x} > 0$, демек $\displaystyle x^{2}(x + 1) \le 0$ болушу керек. Бул $\displaystyle x \le -1$ болгондо жана $\displaystyle x = 0$ болгондо ($\displaystyle x^{2} = 0$) аткарылат. Эң чоң бүтүн чыгарылыш — 0.

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle x^{2} \ge 0$ туюнтмасы $\displaystyle x = 0$ болгондо нөлгө айланып, өзүнчө чыгарылыш берерин унутуу.
• Барабарсыздыкты белгиси белгисиз туюнтмага бөлүү.
• Виет теоремасында $\displaystyle -\frac{b}{a}$ менен $\displaystyle \frac{b}{a}$ ны чаташтыруу.