Алгебралык өзгөртүүлөр: формулалар, даражалар жана тамырлар

Туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүгө тапшырмалар ар бир вариантта бар. Дээрлик дайыма «узун» эсептөөнүн ордуна бир формула колдонулат.

Кыскача көбөйтүүнүн формулалары

• $\displaystyle (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, $\displaystyle (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
• $\displaystyle a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$
• $\displaystyle a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$
• $\displaystyle a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Пайдалуу натыйжа: $\displaystyle a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = (a - b)^{2} + 2ab$.

Даражанын касиеттери

• $\displaystyle a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $\displaystyle a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$, $\displaystyle (a^{m})^{n} = a^{mn}$
• $\displaystyle a^{0} = 1$, $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
• $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$, мисалы $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^{2} = 4$
• $\displaystyle (-1)^{n}$ жуп n де 1ге, так n де $\displaystyle -1$ге барабар

Тамырдын касиеттери

• a, $\displaystyle b \ge 0$ болгондо $\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$; $\displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
• $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$, $\displaystyle \sqrt[3]{a^{3}} = a$
• Бөлүмдөгү иррационалдуулуктан кутулуу: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. $\displaystyle 47^{2} - 53^{2} = (47 - 53)(47 + 53) = -6 \times 100 = -600$.

2-мисал. $\displaystyle x - y = 4$ жана $\displaystyle xy = 5$ болсо, $\displaystyle x^{2}y - xy^{2}$ жана $\displaystyle x^{2} + y^{2}$ ты тапкыла. $\displaystyle x^{2}y - xy^{2} = xy(x - y) = 5 \times 4 = 20$. $\displaystyle x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2xy = 16 + 10 = 26$. Негизги ыкма: x менен y ти издебей, жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгаруу же баарын берилген айкалыштар аркылуу туюнтуу.

3-мисал. $\displaystyle \frac{x - 8}{x^{\frac{1}{3}} - 2}$ ни жөнөкөйлөткүлө. $\displaystyle t = x^{\frac{1}{3}}$ деп белгилейли, анда $\displaystyle x = t^{3}$ жана $\displaystyle x - 8 = t^{3} - 8 = (t - 2)(t^{2} + 2t + 4)$. Кыскарткандан кийин: $\displaystyle t^{2} + 2t + 4 = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4$.

4-мисал. $\displaystyle \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$. Жоопто көбүнчө $\displaystyle \sqrt{\ldots}$ түрү берилет: көбөйтүүчүнү тамырдын астына киргизгиле, $\displaystyle 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3}$.

5-мисал. $\displaystyle 3^{x} = k$ болсо, $\displaystyle 9^{x + 1} = 9 \times 9^{x} = 9 \times (3^{x})^{2} = 9k^{2}$.

6-мисал. $\displaystyle (a^{-1} - b^{-1}) : (a^{-1}b^{-1}) = \frac{b - a}{ab} \times ab = b - a$. Терс көрсөткүчтөрдү адегенде бөлчөк түрүндө жазып алгыла.

7-мисал. $\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} = 4$ болсо, $\displaystyle \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$, анткени $\displaystyle a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle (a + b)^{2} \ne a^{2} + b^{2}$: эки эселенген көбөйтүндүнү жоготпогула.
• $\displaystyle \sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• $\displaystyle 2^{3x}$ — бул $\displaystyle (2^{x})^{3}$, ал эми $\displaystyle 2^{x + 3}$ — бул $\displaystyle 8 \times 2^{x}$; көрсөткүчтөрдү көбөйтүү менен кошууну чаташтырбагыла.
• «Теңдеш барабар» деген тапшырмада жоопту жөнөкөй санды, мисалы $\displaystyle x = 1$ же $\displaystyle x = 4$ тү коюп текшерүү ыңгайлуу.