Сандар: модуль, бүтүн бөлүгү, бөлүнүүчүлүк жана акыркы цифра

Предметтик тесттин дээрлик ар бир вариантында «сандарга» 3–5 тапшырма болот: модулду, бөлчөк бөлүгүн, даражанын акыркы цифрасын, жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдүн санын же теңдеменин бүтүн чыгарылыштарын табуу. Бир нече эрежени билсеңиз, алар тез чыгат.

Сандын модулу

$\displaystyle a \ge 0$ болсо $\displaystyle \lvert a \rvert = a$, ал эми $\displaystyle a < 0$ болсо $\displaystyle \lvert a \rvert = -a$. Модуль эч качан терс болбойт: $\displaystyle \lvert -7 \rvert = 7$, $\displaystyle \lvert 0 \rvert = 0$.

• $\displaystyle x < 0$ экени белгилүү болсо, $\displaystyle \lvert x \rvert = -x$ (бул оң сан).
• Каалагандай a үчүн $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$, ал эми $\displaystyle \sqrt[3]{a^{3}} = a$ (куб тамыр белгини сактайт).
• $\displaystyle \lvert a - b \rvert$ — сан огундагы a жана b чекиттеринин ортосундагы аралык.

1-мисал. $\displaystyle -7{,}2 < x < -6{,}1$ жана x бүтүн сан болсо, $\displaystyle \lvert x \rvert$ ти тапкыла. $\displaystyle -7{,}2$ менен $\displaystyle -6{,}1$ дин ортосунда бир гана бүтүн сан бар: $\displaystyle -7$. Демек, $\displaystyle \lvert x \rvert = 7$. Көп кездешкен тузак — $\displaystyle -7$ жообун тандоо: модуль терс болбойт.

Бүтүн жана бөлчөк бөлүгү

[x] — x тен ашпаган эң чоң бүтүн сан. Бөлчөк бөлүгү $\displaystyle \{x\} = x - [x]$, ал дайыма $\displaystyle 0 \le \{x\} < 1$ аралыгында болот.

• $\displaystyle [3{,}7] = 3$, $\displaystyle \{3{,}7\} = 0{,}7$.
• $\displaystyle [-0{,}2] = -1$ (0 эмес!), ошондуктан $\displaystyle \{-0{,}2\} = -0{,}2 - (-1) = 0{,}8$.

2-мисал. $\displaystyle \{3{,}7\} + \{-0{,}2\} = 0{,}7 + 0{,}8 = 1{,}5$.

Даражанын акыркы цифрасы

Даражалардын акыркы цифралары эң көп дегенде 4 кадам сайын кайталанат:

• 2: 2, 4, 8, 6, 2, …
• 3: 3, 9, 7, 1, 3, …
• 7: 7, 9, 3, 1, 7, …
• 4: 4, 6, 4, 6, … жана 9: 9, 1, 9, 1, …
• 0, 1, 5, 6 каалагандай натуралдык даражада ошол эле цифра менен бүтөт.

$\displaystyle 3^{2026}$ нын акыркы цифрасын табуу үчүн көрсөткүчтү 4кө бөлөбүз: $\displaystyle 2026 = 4 \times 506 + 2$. Калдык 2, демек акыркы цифра $\displaystyle 3^{2}$ ныкындай, башкача айтканда 9. Эсиңизде болсун: $\displaystyle a^{0} = 1$.

3-мисал. $\displaystyle 2^{10} + 7^{3}$ түн акыркы цифрасы: 10ду 4кө бөлгөндөгү калдык 2, ошондуктан $\displaystyle 2^{10}$ 4 менен бүтөт; $\displaystyle 7^{3}$ 3 менен бүтөт. Сумма $\displaystyle 4 + 3 = 7$ менен бүтөт. Текшерүү: $\displaystyle 1024 + 343 = 1367$.

Жөнөкөй көбөйтүүчүлөр жана бөлүүчүлөр

Негизди жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратып, көрсөткүчтөрдү көбөйтөбүз: $\displaystyle 12^{5} = (2^{2} \times 3)^{5} = 2^{10} \times 3^{5}$. Бардык жөнөкөй көбөйтүүчүлөр (кайталанганын кошо эсептегенде) $\displaystyle 10 + 5 = 15$, ар түрдүүсү экөө (2 жана 3). Эгерде $\displaystyle n = p^a \times q^b$ болсо, n дин бардык бөлүүчүлөрүнүн саны $\displaystyle (a + 1)(b + 1)$; $\displaystyle 12^{5}$ те алар $\displaystyle 11 \times 6 = 66$.

Бүтүн чыгарылыштар

4-мисал. x жана y — натуралдык сандар, $\displaystyle x^{2} + 2y^{2} = 19$. $\displaystyle x + y$ ти тапкыла. $\displaystyle 2y^{2} < 19$ болгондуктан $\displaystyle y \le 3$. Текшеребиз: $\displaystyle y = 1 \to x^{2} = 17$ (жок); $\displaystyle y = 2 \to x^{2} = 11$ (жок); $\displaystyle y = 3 \to x^{2} = 1$, $\displaystyle x = 1$. Жообу: $\displaystyle x + y = 4$.

Эгерде $\displaystyle m = n + \frac{6}{n}$ жана m, n бүтүн сандар болсо, n 6нын бөлүүчүсү болушу керек: $\displaystyle n \in \{\pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ \pm6\}$. Андан кийин жооп варианттарын текшеребиз.

Сандын цифралар менен жазылышы

Цифралары x жана y болгон эки орундуу сан $\displaystyle 10x + y$ ке, цифралары a, b, c болгон үч орундуу сан $\displaystyle 100a + 10b + c$ ге барабар. x менен y тин ортосуна 5 цифрасын жазсак, $\displaystyle 100x + 50 + y$ пайда болот.

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle [-2{,}4] = -3$ тү «бөлчөк бөлүгүн таштап салуу» ($\displaystyle -2$) менен чаташтыруу.
• $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$ экенин унутуу (a эмес).
• Бардык жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдүн ордуна ар түрдүүлөрүн эсептөө (же тескерисинче): суроону кунт коюп окугула.