Функциялар: аныкталуу аймагы, жуптугу жана графиктери

Предметтик тестте функциялар ар кандай түрдө кездешет: аныкталуу аймагын табуу, жуп же так экенин текшерүү, бөлүктөп берилген функциянын маанисин эсептөө, формула боюнча графикти таануу.

Аныкталуу аймагы

Формула маанилүү боло турган x тин маанилерин издейбиз:

• бөлүмү $\displaystyle \ne 0$;
• жуп даражадагы тамырдын астында — туюнтма $\displaystyle \ge 0$;
• логарифмдин астында — туюнтма $\displaystyle > 0$.

1-мисал. $\displaystyle y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 2}$ функциясынын аныкталуу аймагында канча бүтүн сан бар? $\displaystyle 9 - x^{2} \ge 0$ болсо $\displaystyle -3 \le x \le 3$ (бүтүн сандар: $\displaystyle -3$, $\displaystyle -2$, $\displaystyle -1$, 0, 1, 2, 3 — жети сан). Алардын ичинен $\displaystyle x = 2$ ни алып салабыз. Жообу: 6.

Жуп жана так функциялар

• Жуп функция: $\displaystyle f(-x) = f(x)$; графиги Oy огуна карата симметриялуу. Мисалдар: $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle \lvert x \rvert$, $\displaystyle \cos x$.
• Так функция: $\displaystyle f(-x) = -f(x)$; графиги координаталардын башталышына карата симметриялуу. Мисалдар: $\displaystyle x^{3}$, $\displaystyle \frac{1}{x}$, $\displaystyle \sqrt[3]{x}$, $\displaystyle \sin x$, $\displaystyle \operatorname{tg} x$.
• Милдеттүү шарт — аныкталуу аймагы 0гө карата симметриялуу болушу керек. Ошондуктан $\displaystyle \sqrt{x}$ жуп да, так да эмес.
• $\displaystyle \lvert x + 1 \rvert$ да жуп да, так да эмес: жылдыруу симметрияны бузат.

2-мисал. f — так функция, $\displaystyle f(2) = 5$. Анда $\displaystyle f(-2) = -5$ жана $\displaystyle f(2) + f(-2) = 0$. Так функция нөлдө аныкталса, $\displaystyle f(0) = 0$.

Бөлүктөп берилген функциялар жана татаал функция

3-мисал. $\displaystyle x < 1$ болгондо $\displaystyle f(x) = x^{2} - 1$, $\displaystyle x \ge 1$ болгондо $\displaystyle f(x) = 3 - x$. $\displaystyle f(f(-2))$ ни тапкыла. $\displaystyle -2 < 1$, ошондуктан $\displaystyle f(-2) = 4 - 1 = 3$. Андан кийин $\displaystyle 3 \ge 1$, ошондуктан $\displaystyle f(3) = 3 - 3 = 0$. Ар бир жолу адегенде берилген x үчүн кайсы формула иштээрин тандагыла.

Сызыктуу функция

$\displaystyle y = kx + b$: b — Oy огу менен кесилишкен чекит, $\displaystyle k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ — бурчтук коэффициент. $\displaystyle (0;\ -2)$ жана (4; 0) чекиттери аркылуу өткөн түз сызык: $\displaystyle k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = \frac{1}{2}x - 2$.

Графиктерди өзгөртүү

• $\displaystyle y = f(x) + b$ — b бирдикке жогору жылдыруу ($\displaystyle b < 0$ болсо ылдый)
• $\displaystyle y = f(x - a)$ — a бирдикке оңго жылдыруу ($\displaystyle y = \lvert x - 2 \rvert$ нин чокусу $\displaystyle x = 2$ чекитинде)
• $\displaystyle y = -f(x)$ — Ox огуна карата чагылдыруу
• $\displaystyle y = f(-x)$ — Oy огуна карата чагылдыруу
• $\displaystyle y = k \times f(x)$ — вертикал боюнча k эсе созуу; функциянын нөлдөрү ордунда калат

Оң жактагы сүрөттө f(x) түз сызыгы (0; 2) жана (3; 0) аркылуу өтөт. 2f(x) графигинин нөлү ошол эле ($\displaystyle x = 3$), ал эми Oy менен кесилишүүсү (0; 4) болуп калды; $\displaystyle -f(x)$ те — $\displaystyle (0;\ -2)$.

4-мисал. Графиги $\displaystyle (0;\ -2)$ жана (4; 0) аркылуу өткөн f(x) үчүн $\displaystyle y = 3f(x)$ графиги (4; 0) жана $\displaystyle (0;\ -6)$ аркылуу өтөт.

Модулу бар графиктер

$\displaystyle y = \lvert x - a \rvert + b$ — чокусу (a; b) чекитинде болгон «бурчтук». Анын $\displaystyle y = c$ түз сызыгы менен кесилишин табуу үчүн $\displaystyle \lvert x - a \rvert = c - b$ теңдемесин чыгаргыла: $\displaystyle c > b$ болсо эки чыгарылыш болот. 5-мисал. $\displaystyle \lvert x - 2 \rvert + 1 = 4$ болсо $\displaystyle \lvert x - 2 \rvert = 3$, $\displaystyle x = -1$ же $\displaystyle x = 5$. $\displaystyle y = 4$ түз сызыгындагы бул чекиттердин ортосундагы кесиндинин узундугу 6.

Көп кетирилген каталар

• Аныкталуу аймагын карабай туруп жуптукту текшерүү.
• Жылдыруунун багытын чаташтыруу: $\displaystyle f(x - 2)$ солго эмес, оңго жылдырат.
• Бөлүктөп берилген функцияда чек арадагы x ти туура эмес формулага коюу ($\displaystyle \ge$ белгиси кайсы жерде турганын карагыла).