Логарифмдер: аныктамасы жана касиеттери

Логарифмдер предметтик тесттин ар бир вариантында бар: маанисин эсептөө, логарифмдердин барабардыгынан x ти табуу, логарифмдин белгисин аныктоо.

Аныктамасы

$\displaystyle \log_{a}b$ — b ны алуу үчүн a ны көтөрүү керек болгон даражанын көрсөткүчү: $\displaystyle \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$, мында $\displaystyle a > 0$, $\displaystyle a \ne 1$, $\displaystyle b > 0$.

Белгилөөлөр: $\displaystyle \lg b = \log_{10}b$ (ондук логарифм), $\displaystyle \ln b = \log_{e}b$ (натуралдык логарифм, $\displaystyle e \approx 2{,}718$).

Негизги касиеттери

• Негизги логарифмдик теңдештик: $\displaystyle a^{\log_{a}b} = b$; мисалы $\displaystyle 10^{\lg 7} = 7$
• $\displaystyle \log_{a}1 = 0$, $\displaystyle \log_{a}a = 1$
• $\displaystyle \log_{a}(bc) = \log_{a}b + \log_{a}c$
• $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right) = \log_{a}b - \log_{a}c$
• $\displaystyle \log_{a}(b^{p}) = p \times \log_{a}b$
• $\displaystyle \log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} \times \log_{a}b$
• Жаңы негизге өтүү: $\displaystyle \log_{a}b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
• $\displaystyle \log_{a}b \times \log_b a = 1$

Логарифмдин белгиси

a жана b 1дин «бир тарабында» жатса (экөө тең 1ден чоң же экөө тең 0 менен 1дин ортосунда), $\displaystyle \log_{a}b > 0$. Алар «ар башка тарапта» болсо, $\displaystyle \log_{a}b < 0$: $\displaystyle \log_{0{,}5}7 < 0$, $\displaystyle \log_{3}0{,}5 < 0$, ал эми $\displaystyle \log_{0{,}5}0{,}2 > 0$.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. $\displaystyle 5^{3 \times \log_{5}2} = 5^{\log_{5}2^{3}} = 5^{\log_{5}8} = 8$. Логарифмдин алдындагы көбөйтүүчүнү адегенде логарифмдин астындагы сандын көрсөткүчүнө өткөрөбүз.

2-мисал. $\displaystyle 7^{\frac{1}{2} \times \log_{7}9} = 7^{\log_{7}\sqrt{9}} = 7^{\log_{7}3} = 3$.

3-мисал. $\displaystyle 2^{\log_{2}3 + 1} = 2^{\log_{2}3} \times 2^{1} = 3 \times 2 = 6$.

4-мисал. $\displaystyle \log_{2}12 - \log_{2}3 = \log_{2}\left(\frac{12}{3}\right) = \log_{2}4 = 2$.

5-мисал. $\displaystyle \log_{9}27 = \log_{4}x$ болсо, x ти тапкыла. 3түн даражалары аркылуу жазабыз: $\displaystyle \log_{9}27 = \log_{3^{2}}(3^{3}) = \frac{3}{2}$. Анда $\displaystyle \log_{4}x = \frac{3}{2}$, $\displaystyle x = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^{3} = 8$.

6-мисал. $\displaystyle \log_{5}x = \log_{5}6 + \log_{5}2 - \log_{5}4$ болсо, $\displaystyle x = \frac{6 \times 2}{4} = 3$.

7-мисал. $\displaystyle 0 < a < 1$ жана $\displaystyle b > 1$ болсун. Анда $\displaystyle \log_{a}b < 0$ (сандар 1дин ар башка тарабында), $\displaystyle \log_b a < 0$, ал эми $\displaystyle \log_{a}(a^{2}) = 2 > 0$.

Кантип тезирээк чыгаруу керек

• Сандарды бир жөнөкөй негизге келтиргиле: $\displaystyle 4 = 2^{2}$, $\displaystyle 8 = 2^{3}$, $\displaystyle 16 = 2^{4}$, $\displaystyle 9 = 3^{2}$, $\displaystyle 27 = 3^{3}$.
• Негиздери бирдей логарифмдердин суммасы — көбөйтүндүнүн логарифми.
• Көрсөткүчтө логарифм турса, негизги теңдештикти колдонгула.

Көп кетирилген каталар

• $\displaystyle \log_{a}(b + c) \ne \log_{a}b + \log_{a}c$.
• $\displaystyle \frac{\log_{a}b}{\log_{a}c} \ne \log_{a}\frac{b}{c}$; бул тийинди log_c b га барабар.
• Мүмкүн болгон маанилердин аймагын унутуу: логарифмдин астында оң сандар гана болот, негизи оң жана 1ге барабар эмес.