Туунду: эрежелери жана геометриялык мааниси

Туунду негизги тестте жок, бирок предметтик тесттин ар бир вариантында кездешет: $\displaystyle f'(x)$ ти эсептөө, чекиттеги $\displaystyle f'$ ти табуу, график боюнча туундунун белгисин аныктоо, жанымасы горизонталдуу болгон чекитти табуу.

Туундулардын таблицасы

• $\displaystyle c' = 0$, $\displaystyle (kx + b)' = k$
• $\displaystyle (x^{n})' = n \times x^{n-1}$; мисалы $\displaystyle (x^{5})' = 5x^{4}$, $\displaystyle (x^{-2})' = -2x^{-3}$
• $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}}$
• $\displaystyle (e^{x})' = e^{x}$, $\displaystyle (a^{x})' = a^{x} \times \ln a$
• $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $\displaystyle (\sin x)' = \cos x$, $\displaystyle (\cos x)' = -\sin x$, $\displaystyle (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^{2}x}$

Эрежелер

• $\displaystyle (f + g)' = f' + g'$, $\displaystyle (c \times f)' = c \times f'$
• $\displaystyle (f \times g)' = f'g + fg'$
• $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}$
• Татаал функция: $\displaystyle (f(kx + b))' = k \times f'(kx + b)$; мисалы $\displaystyle (\sin 3x)' = 3\cos 3x$, $\displaystyle (e^{2x})' = 2e^{2x}$

Кеңеш: $\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^{3}}$ сыяктуу бөлчөктөрдү $\displaystyle (x + 1)^{-3}$ түрүндө жазган ыңгайлуу, ал эми $\displaystyle \ln\left(\frac{1}{x}\right)$ же $\displaystyle \ln(x^{2})$ ти туундуну алуудан мурун логарифмдин касиеттери менен жөнөкөйлөткүлө.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. $\displaystyle f(x) = \ln(x^{2})$. $\displaystyle \ln(x^{2}) = 2 \ln\lvert x \rvert$ болгондуктан $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{x}$.

2-мисал. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{(x + 1)^{3}} = (x + 1)^{-3}$. $\displaystyle g'(x) = -3(x + 1)^{-4} = -\frac{3}{(x + 1)^{4}}$; $\displaystyle g'(1) = -\frac{3}{16}$.

3-мисал. $\displaystyle y = x^{2} - 3x$ графигине $\displaystyle x_{0} = 2$ чекитинде жүргүзүлгөн жаныма. $\displaystyle f(2) = 4 - 6 = -2$, $\displaystyle f'(x) = 2x - 3$, $\displaystyle f'(2) = 1$. Жаныманын теңдемеси: $\displaystyle y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}) = -2 + (x - 2) = x - 4$.

Геометриялык мааниси

$\displaystyle f'(x_{0})$ — $\displaystyle x_{0}$ чекитиндеги жаныманын бурчтук коэффициенти, башкача айтканда анын Ox огуна жантаюу бурчунун тангенси.

• Жаныма Ox огуна параллель $\displaystyle \Leftrightarrow f'(x_{0}) = 0$.
• Аралыкта $\displaystyle f'(x) > 0$ болсо, функция ал жерде өсөт; $\displaystyle f'(x) < 0$ болсо — кемийт.
• Жылмакай функциянын максимум жана минимум чекиттеринде $\displaystyle f' = 0$.

Сүрөттө $\displaystyle f(x) = \frac{x^{3}}{3} - x$, $\displaystyle f'(x) = x^{2} - 1$. Функция $\displaystyle x < -1$ жана $\displaystyle x > 1$ болгондо өсөт ($\displaystyle f' > 0$), $\displaystyle (-1;\ 1)$ аралыгында кемийт ($\displaystyle f' < 0$), ал эми $\displaystyle x = \pm1$ чекиттеринде жаныма горизонталдуу.

4-мисал. $\displaystyle f(x) = \cos 3x$ графигинин кайсы чекиттеринде жаныма Ox огуна параллель? $\displaystyle f'(x) = -3 \sin 3x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi n}{3}$. Мисалы, $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ болгондо графиктин чекити $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3};\ -1\right)$.

5-мисал. Функциянын графиги боюнча $\displaystyle f'(a)$, $\displaystyle f'(b)$, $\displaystyle f'(c)$, $\displaystyle f'(d)$ сандарынын ичинен терсин тандоо керек. График ылдый түшкөн (солдон оңго карай) чекитти издегиле. «Дөбөнүн» же «чуңкурдун» чокусунда туунду терс эмес, нөлгө барабар.

Көп кетирилген каталар

• Татаал функциядагы k көбөйтүүчүсүн унутуу: $\displaystyle (\sin 3x)' \ne \cos 3x$.
• $\displaystyle (\cos x)' = -\sin x$ тин белгиси.
• Терс санды так даражага көтөргөндө белгини жоготуу: $\displaystyle (-3)^{3} = -27$, ошондуктан $\displaystyle -\frac{2}{(-3)^{3}} = \frac{2}{27}$.
• Функциянын белгиси менен туундунун белгисин чаташтыруу: функция терс болуп туруп да өсө алат.