Стереометрия: куб, призма жана айлануу телолору

Предметтик тестте көбүнчө стереометрияга 2–3 тапшырма болот: көлөмдөр, беттердин аянттары, кубдун диагоналдары жана айлануудан пайда болгон телолор.

Куб жана тик бурчтуу параллелепипед

• Кыры a болгон куб: $\displaystyle V = a^{3}$, толук бетинин аянты $\displaystyle S = 6a^{2}$, грандын диагоналы $\displaystyle a\sqrt{2}$, кубдун диагоналы $\displaystyle a\sqrt{3}$.
• $\displaystyle a \times b \times c$ параллелепипеди: $\displaystyle V = abc$, $\displaystyle S = 2(ab + bc + ac)$, диагоналы $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

• Призма: $\displaystyle V = S(\text{негиз}) \times h$. Бийиктиктери бирдей призмалардын көлөмдөрү негиздеринин аянттарындай катышта болот.
• Пирамида: $\displaystyle V = \frac{1}{3} \times S(\text{негиз}) \times h$.
• Цилиндр: $\displaystyle V = \pi r^{2}h$, каптал бети $\displaystyle 2\pi rh$.
• Конус: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$.
• Шар: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$, сферанын аянты $\displaystyle 4\pi R^{2}$.
• Окшоштук коэффициенти k болгон телолордо аянттар $\displaystyle k^{2}$ эсе, көлөмдөр $\displaystyle k^{3}$ эсе айырмаланат.

Айлануу телолору

• Тик бурчтук өзүнүн жагын тегерете айланса → цилиндр (ошол жак — бийиктик, экинчи жак — радиус).
• Тик бурчтуу үч бурчтук катетин тегерете айланса → конус.
• Куб кырын тегерете айланса → бийиктиги a, радиусу октон эң алыскы аралыкка, башкача айтканда грандын диагоналына $\displaystyle a\sqrt{2}$ ге барабар цилиндр.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. $\displaystyle 3 \times 5$ тик бурчтугу 5 жагын тегерете айланат: цилиндр $\displaystyle r = 3$, $\displaystyle h = 5$, $\displaystyle V = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi$. 3 жагын тегерете айланса: $\displaystyle r = 5$, $\displaystyle h = 3$, $\displaystyle V = 75\pi$.

2-мисал. Кубдун көлөмү 27. Кубдун диагоналын жана кубду кырын тегерете айландырганда пайда болгон телонун көлөмүн тапкыла. $\displaystyle a = 3$, диагоналы $\displaystyle 3\sqrt{3}$. $\displaystyle r = 3\sqrt{2}$, $\displaystyle h = 3$, $\displaystyle V = \pi \times 18 \times 3 = 54\pi$.

3-мисал. Кыры 4 болгон кубду кыры 1 болгон кубиктерге бөлүштү. Кубиктер $\displaystyle 4^{3} = 64$, алардын жалпы бетинин аянты $\displaystyle 64 \times 6 = 384$, баштапкы кубдуку $\displaystyle 6 \times 16 = 96$. Беттин аянты 4 эсе, башкача айтканда a эсе чоңойду.

4-мисал. $\displaystyle 2 \times 3 \times 6$ параллелепипединин диагоналы $\displaystyle \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$.

5-мисал. Кыры a болгон $\displaystyle ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ кубунда E чекити DC кырын $\displaystyle DE : EC = 1 : 2$ катышында бөлөт. $\displaystyle BB_{1}$ жана E аркылуу өткөн тегиздик кубду эки призмага бөлөт. Чоңунун көлөмү кичинесиникинен канча эсе чоң? Бийиктиктери бирдей (a), негиздерин салыштырабыз. BCE үч бурчтугу: $\displaystyle \frac{1}{2} \times a \times \frac{2a}{3} = \frac{a^{2}}{3}$. Квадраттын калган бөлүгү: $\displaystyle a^{2} - \frac{a^{2}}{3} = \frac{2a^{2}}{3}$. Жообу: 2 эсе.

6-мисал. Шардын радиусу 2 эсе чоңойтулду — көлөмү $\displaystyle 2^{3} = 8$ эсе, бетинин аянты 4 эсе чоңоёт.

Көп кетирилген каталар

• Цилиндрдин радиусу катары грандын диагоналын эмес, кубдун кырын алуу.
• Толук беттин аянтын $\displaystyle (6a^{2})$ көлөм $\displaystyle (a^{3})$ менен чаташтыруу.
• Пирамида менен конустун формулаларындагы $\displaystyle \frac{1}{3}$ ди унутуу.