Планиметрия: үч бурчтуктар

Үч бурчтуктарга тапшырмалар ар бир вариантта бар: бурчту, жакты, бурчтун синусун же аянтты табуу, үч бурчтук жашай алабы деп текшерүү.

Негизги фактылар

• Үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы $\displaystyle 180^{\circ}$; тышкы бурч ага чектеш эмес эки ички бурчтун суммасына барабар.
• Үч бурчтуктун барабарсыздыгы: ар бир жагы калган эки жагынын суммасынан кичине.
• Тең капталдуу үч бурчтуктун негизиндеги бурчтары барабар.
• Тик бурчтуу үч бурчтукта: $\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2}$; $\displaystyle 30^{\circ}$ бурчка каршы жаткан катет гипотенузанын жарымына барабар; $\displaystyle \sin =$ каршы жаткан катет : гипотенуза, $\displaystyle \cos =$ жанындагы катет : гипотенуза, $\displaystyle \operatorname{tg} =$ каршы жаткан катет : жанындагы катет.
• Биссектрисалар ичтен сызылган айлананын борборунда кесилишет; медианалар кесилишүү чекитинде чокудан баштап 2 : 1 катышында бөлүнөт.

Синустар жана косинустар теоремалары

• Синустар теоремасы: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, R — сырттан сызылган айлананын радиусу.
• Косинустар теоремасы: $\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \times \cos C$.
• Пайдалуу: $\displaystyle \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Аянт

• $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times a \times h$
• $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$ (C — a жана b жактарынын ортосундагы бурч)
• $\displaystyle \sin C \le 1$ болгондуктан, берилген a жана b жактарында аянт $\displaystyle \frac{1}{2}ab$ дан ашпайт, эң чоң мааниси бурч тик болгондо болот.

Чыгарылган мисалдар

1-мисал. Тең капталдуу үч бурчтуктун бир жагы 4 см, экинчиси 9 см. Периметрин тапкыла. Каптал жактары 4төн болсо, $\displaystyle 4 + 4 < 9$ — мындай үч бурчтук жок. Демек, жактары 9, 9, 4, периметри 22 см.

2-мисал. ABC үч бурчтугунда $\displaystyle \angle A = 45^{\circ}$, $\displaystyle BC = 6$, $\displaystyle AB = 3$. Сырттан сызылган айлананын радиусун жана $\displaystyle \sin C$ ны тапкыла. $\displaystyle 2R = \frac{BC}{\sin A} = 6 : \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$, $\displaystyle R = 3\sqrt{2}$. $\displaystyle \sin C = \frac{AB}{2R} = \frac{3}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

3-мисал. Эки жагы 5 жана 8, алардын ортосундагы бурч $\displaystyle 60^{\circ}$. Аянтын жана үчүнчү жагын тапкыла. $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. $\displaystyle c^{2} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 49$, $\displaystyle c = 7$.

4-мисал. A жана B бурчтарынын биссектрисалары I чекитинде кесилишет, $\displaystyle \angle A = 70^{\circ}$, $\displaystyle \angle B = 50^{\circ}$. $\displaystyle \angle AIB$ ны тапкыла. $\displaystyle \angle IAB = 35^{\circ}$, $\displaystyle \angle IBA = 25^{\circ}$, $\displaystyle \angle AIB = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 25^{\circ} = 120^{\circ}$. $\displaystyle \angle AIB = 90^{\circ} + \frac{\angle C}{2} = 90^{\circ} + 30^{\circ}$ формуласын эстеп алса да болот.

5-мисал. Жактары 10 жана 7 болгон үч бурчтуктун аянты 40 болушу мүмкүнбү? Жок: эң чоң аянт $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 7 = 35$.

Көп кетирилген каталар

• Тең капталдуу үч бурчтук жөнүндөгү маселеде үч бурчтуктун барабарсыздыгын текшербөө.
• Синустар теоремасын жакка жана ага каршы жатпаган бурчка колдонуу.
• Сүрөттө кесиндилер эки бурчту тең экиге бөлсө, ошол эле чекит аркылуу өткөн үчүнчү кесинди да биссектриса болот — муну байкаш керек, сүрөттү «өлчөп» отурбай.