Планиметрия: төрт бурчтуктар, айлана жана көп бурчтуктар

Тесттеги геометриянын экинчи чоң бөлүгү — параллелограммдар, трапециялар, айланалар, секторлор жана туура көп бурчтуктар.

Параллелограмм

• Карама-каршы жактары жана бурчтары барабар, коңшу бурчтарынын суммасы $\displaystyle 180^{\circ}$.
• Диагоналдары кесилишкен чекитинде тең экиге бөлүнөт.
• $\displaystyle S = a \times h = a \times b \times \sin \alpha$.

1-мисал. ABCD — параллелограмм, N — диагоналдардын кесилишкен чекити, K чекити BD диагоналында жатат, $\displaystyle BK : KD = 1 : 3$, $\displaystyle BD = 8$. $\displaystyle \frac{DN}{NK}$ ны тапкыла. $\displaystyle BN = ND = 4$, $\displaystyle BK = 2$, демек $\displaystyle NK = 4 - 2 = 2$, $\displaystyle \frac{DN}{NK} = \frac{4}{2} = 2$. Ыңгайлуу ыкма: кесиндинин узундугун бардык бөлүктөргө эселүү болгон белгилүү бир сан деп алуу.

Трапеция

• $\displaystyle S = \frac{a + b}{2} \times h$; орто сызыгы $\displaystyle \frac{a + b}{2}$ ге барабар.
• Трапециянын диагоналдары BC : AD коэффициенти менен окшош BOC жана DOA үч бурчтуктарын түзөт, ошондуктан $\displaystyle BO : OD = CO : OA = BC : AD$.

2-мисал. Трапецияда $\displaystyle BC = 4$, $\displaystyle AD = 10$, $\displaystyle BO = 2$. Анда $\displaystyle OD = 2 \times \frac{10}{4} = 5$, $\displaystyle BD = 7$.

Ичтен жана сырттан сызылган айланалар

• Төрт бурчтукка айлана ичтен сызууга болот $\displaystyle \Leftrightarrow$ карама-каршы жактарынын суммалары барабар: $\displaystyle AB + CD = BC + AD$.
• Төрт бурчтукту айлана менен сырттан сызууга болот $\displaystyle \Leftrightarrow$ карама-каршы бурчтарынын суммасы $\displaystyle 180^{\circ}$.

3-мисал. ABCD төрт бурчтугуна айлана ичтен сызылган, $\displaystyle AB : CD = 5 : 3$, $\displaystyle BC = 7$, $\displaystyle AD = 9$. $\displaystyle AB + CD = 16$; $\displaystyle 5k + 3k = 16$, $\displaystyle k = 2$, $\displaystyle AB = 10$, $\displaystyle CD = 6$.

Айлана жана сектор

• Айлананын узундугу $\displaystyle 2\pi R$, тегеректин аянты $\displaystyle \pi R^{2}$.
• Бурчу α болгон сектор: $\displaystyle S = \pi R^{2} \times \frac{\alpha}{360^{\circ}}$, жаанын узундугу $\displaystyle \frac{\pi R\alpha}{180^{\circ}}$.
• Ичтен сызылган бурч ошол эле жаага таянган борбордук бурчтун жарымына барабар; диаметрге таянган бурч тик бурч.
• Диаметрдин эки жагындагы чектеш борбордук бурчтардын суммасы $\displaystyle 180^{\circ}$.

4-мисал. Бурчу $\displaystyle 40^{\circ}$ болгон сектордун аянты S ке барабар. Ошол эле тегеректин бурчу $\displaystyle 100^{\circ}$ болгон секторунун аянты $\displaystyle S \times \frac{100}{40} = \frac{5S}{2}$.

5-мисал. Радиусу $\displaystyle R_{1}$ болгон тегеректин $\displaystyle 90^{\circ}$ секторунун аянты радиусу $\displaystyle R_{2}$ болгон тегеректин $\displaystyle 40^{\circ}$ секторунун аянтына барабар. $\displaystyle \frac{R_{1}}{R_{2}}$ ни тапкыла. $\displaystyle \frac{\pi R_{1}^{2}}{4} = \pi R_{2}^{2} \times \frac{40}{360} = \frac{\pi R_{2}^{2}}{9}$, $\displaystyle \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = \frac{4}{9}$, $\displaystyle \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{2}{3}$.

Туура алты бурчтук

• Жагы a болгон 6 туура үч бурчтуктан турат; сырттан сызылган айлананын радиусу a га барабар.
• Ички бурчу $\displaystyle 120^{\circ}$; $\displaystyle S = 6 \times \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$.
• Чоң диагоналы 2a, кичине диагоналы $\displaystyle a\sqrt{3}$.

6-мисал. $\displaystyle a = 2$ болсо: $\displaystyle S = 6 \times \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$, чоң диагоналы 4, кичинеси $\displaystyle 2\sqrt{3}$.

Көп кетирилген каталар

• Ичтен сызылган айлананын шартын (жактар) сырттан сызылган айлананын шарты (бурчтар) менен чаташтыруу.
• Секторлордун аянттарынын катышын радиустардын квадраттары боюнча эмес, радиустар боюнча эсептөө.
• «Көз менен» жыйынтык чыгаруу: берилгендерди жана фигуралардын касиеттерин гана колдонгула.