Стереометрия: куб, призма и тела вращения

В предметном тесте обычно 2–3 задания по стереометрии: объёмы, поверхности, диагонали куба и тела, получающиеся при вращении.

Куб и прямоугольный параллелепипед

• Куб с ребром a: $\displaystyle V = a^{3}$, полная поверхность $\displaystyle S = 6a^{2}$, диагональ грани $\displaystyle a\sqrt{2}$, диагональ куба $\displaystyle a\sqrt{3}$.
• Параллелепипед $\displaystyle a \times b \times c$: $\displaystyle V = abc$, $\displaystyle S = 2(ab + bc + ac)$, диагональ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

• Призма: $\displaystyle V = S(\text{основания}) \times h$. У призм с одинаковой высотой объёмы относятся как площади оснований.
• Пирамида: $\displaystyle V = \frac{1}{3} \times S(\text{основания}) \times h$.
• Цилиндр: $\displaystyle V = \pi r^{2}h$, боковая поверхность $\displaystyle 2\pi rh$.
• Конус: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$.
• Шар: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$, площадь сферы $\displaystyle 4\pi R^{2}$.
• Подобные тела с коэффициентом k: площади в $\displaystyle k^{2}$ раз, объёмы в $\displaystyle k^{3}$ раз.

Тела вращения

• Прямоугольник вращается вокруг стороны → цилиндр (эта сторона — высота, другая — радиус).
• Прямоугольный треугольник вокруг катета → конус.
• Куб вокруг ребра → цилиндр высотой a и радиусом, равным самому дальнему расстоянию от оси, то есть диагонали грани $\displaystyle a\sqrt{2}$.

Разобранные примеры

Пример 1. Прямоугольник $\displaystyle 3 \times 5$ вращают вокруг стороны 5: цилиндр $\displaystyle r = 3$, $\displaystyle h = 5$, $\displaystyle V = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi$. Вокруг стороны 3: $\displaystyle r = 5$, $\displaystyle h = 3$, $\displaystyle V = 75\pi$.

Пример 2. Объём куба 27. Найдите диагональ куба и объём тела, полученного вращением куба вокруг ребра. $\displaystyle a = 3$, диагональ $\displaystyle 3\sqrt{3}$. $\displaystyle r = 3\sqrt{2}$, $\displaystyle h = 3$, $\displaystyle V = \pi \times 18 \times 3 = 54\pi$.

Пример 3. Куб с ребром 4 разрезали на кубики с ребром 1. Кубиков $\displaystyle 4^{3} = 64$, их общая поверхность $\displaystyle 64 \times 6 = 384$, у исходного куба $\displaystyle 6 \times 16 = 96$. Поверхность выросла в 4 раза, то есть в a раз.

Пример 4. Диагональ параллелепипеда $\displaystyle 2 \times 3 \times 6$ равна $\displaystyle \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$.

Пример 5. В кубе $\displaystyle ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром a точка E делит ребро DC так, что $\displaystyle DE : EC = 1 : 2$. Плоскость через $\displaystyle BB_{1}$ и E делит куб на две призмы. Во сколько раз объём большей больше объёма меньшей? Высоты одинаковы (a), сравниваем основания. Треугольник BCE: $\displaystyle \frac{1}{2} \times a \times \frac{2a}{3} = \frac{a^{2}}{3}$. Остальная часть квадрата: $\displaystyle a^{2} - \frac{a^{2}}{3} = \frac{2a^{2}}{3}$. Ответ: в 2 раза.

Пример 6. Радиус шара увеличили в 2 раза — объём вырос в $\displaystyle 2^{3} = 8$ раз, площадь поверхности в 4 раза.

Типичные ошибки

• Брать за радиус цилиндра ребро куба, а не диагональ грани.
• Путать полную поверхность $\displaystyle (6a^{2})$ и объём $\displaystyle (a^{3})$.
• Забывать $\displaystyle \frac{1}{3}$ в формулах пирамиды и конуса.