Функции: область определения, чётность и графики

В предметном тесте функции появляются в разных видах: найти область определения, проверить чётность, вычислить значение кусочной функции, узнать график по формуле.

Область определения

Ищем значения x, при которых формула имеет смысл:

• знаменатель $\displaystyle \ne 0$;
• под корнем чётной степени — выражение $\displaystyle \ge 0$;
• под логарифмом — выражение $\displaystyle > 0$.

Пример 1. Сколько целых чисел в области определения $\displaystyle y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 2}$? $\displaystyle 9 - x^{2} \ge 0$ даёт $\displaystyle -3 \le x \le 3$ (целые: $\displaystyle -3$, $\displaystyle -2$, $\displaystyle -1$, 0, 1, 2, 3 — семь чисел). Из них убираем $\displaystyle x = 2$. Ответ: 6.

Чётные и нечётные функции

• Чётная: $\displaystyle f(-x) = f(x)$; график симметричен относительно оси Oy. Примеры: $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle \lvert x \rvert$, $\displaystyle \cos x$.
• Нечётная: $\displaystyle f(-x) = -f(x)$; график симметричен относительно начала координат. Примеры: $\displaystyle x^{3}$, $\displaystyle \frac{1}{x}$, $\displaystyle \sqrt[3]{x}$, $\displaystyle \sin x$, $\displaystyle \operatorname{tg} x$.
• Обязательное условие — область определения симметрична относительно 0. Поэтому $\displaystyle \sqrt{x}$ не является ни чётной, ни нечётной.
• $\displaystyle \lvert x + 1 \rvert$ тоже ни чётная, ни нечётная: сдвиг нарушает симметрию.

Пример 2. f — нечётная функция, $\displaystyle f(2) = 5$. Тогда $\displaystyle f(-2) = -5$ и $\displaystyle f(2) + f(-2) = 0$. Если нечётная функция определена в нуле, то $\displaystyle f(0) = 0$.

Кусочные функции и композиция

Пример 3. $\displaystyle f(x) = x^{2} - 1$ при $\displaystyle x < 1$ и $\displaystyle f(x) = 3 - x$ при $\displaystyle x \ge 1$. Найдите $\displaystyle f(f(-2))$. $\displaystyle -2 < 1$, поэтому $\displaystyle f(-2) = 4 - 1 = 3$. Далее $\displaystyle 3 \ge 1$, поэтому $\displaystyle f(3) = 3 - 3 = 0$. Каждый раз сначала выбирайте, какая формула работает для данного x.

Линейная функция

$\displaystyle y = kx + b$: b — точка пересечения с осью Oy, $\displaystyle k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ — угловой коэффициент. Прямая через $\displaystyle (0;\ -2)$ и (4; 0): $\displaystyle k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = \frac{1}{2}x - 2$.

Преобразования графиков

• $\displaystyle y = f(x) + b$ — сдвиг вверх на b (вниз при $\displaystyle b < 0$)
• $\displaystyle y = f(x - a)$ — сдвиг вправо на a ($\displaystyle y = \lvert x - 2 \rvert$ — вершина в точке $\displaystyle x = 2$)
• $\displaystyle y = -f(x)$ — отражение относительно оси Ox
• $\displaystyle y = f(-x)$ — отражение относительно оси Oy
• $\displaystyle y = k \times f(x)$ — растяжение по вертикали в k раз; нули функции остаются на месте

На рисунке справа: прямая f(x) проходит через (0; 2) и (3; 0). У графика 2f(x) нуль тот же ($\displaystyle x = 3$), а точка пересечения с Oy стала (0; 4); у $\displaystyle -f(x)$ — $\displaystyle (0;\ -2)$.

Пример 4. Для f(x) с графиком через $\displaystyle (0;\ -2)$ и (4; 0) график $\displaystyle y = 3f(x)$ проходит через (4; 0) и $\displaystyle (0;\ -6)$.

Графики с модулем

$\displaystyle y = \lvert x - a \rvert + b$ — «галочка» с вершиной (a; b). Чтобы найти, где она пересекает прямую $\displaystyle y = c$, решите $\displaystyle \lvert x - a \rvert = c - b$: два решения, если $\displaystyle c > b$. Пример 5. $\displaystyle \lvert x - 2 \rvert + 1 = 4$ даёт $\displaystyle \lvert x - 2 \rvert = 3$, $\displaystyle x = -1$ или $\displaystyle x = 5$. Отрезок между этими точками на прямой $\displaystyle y = 4$ имеет длину 6.

Типичные ошибки

• Проверять чётность, не посмотрев на область определения.
• Путать направление сдвига: $\displaystyle f(x - 2)$ сдвигает вправо, а не влево.
• В кусочной функции подставлять x не в ту формулу на границе (смотрите, где стоит знак $\displaystyle \ge$).