Квадратичная функция, теорема Виета и метод интервалов

Парабола, корни квадратного уравнения и неравенства с множителями — частые темы предметного теста.

Квадратичная функция $\displaystyle y = ax^{2} + bx + c$

• При $\displaystyle a > 0$ ветви вверх (в вершине минимум), при $\displaystyle a < 0$ — вниз (в вершине максимум).
• Абсцисса вершины $\displaystyle x_{0} = -\frac{b}{2a}$; значение в вершине $\displaystyle y_{0} = y(x_{0})$.
• c — точка пересечения с осью Oy.
• Если известны корни $\displaystyle x_{1}$ и $\displaystyle x_{2}$, то $\displaystyle ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$, а вершина лежит посередине: $\displaystyle x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$.

Дискриминант и теорема Виета

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac$. При $\displaystyle D > 0$ два корня, при $\displaystyle D = 0$ один, при $\displaystyle D < 0$ действительных корней нет. Теорема Виета: $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$, $\displaystyle x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$.

Пример 1. Высота мяча $\displaystyle h = 20t - 5t^{2}$ (метры, секунды). Когда мяч выше всего и на какой высоте? $\displaystyle a = -5 < 0$, вершина при $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ с, $\displaystyle h(2) = 40 - 20 = 20$ м. Мяч упадёт, когда $\displaystyle h = 0$: $\displaystyle 5t(4 - t) = 0$, $\displaystyle t = 4$ с.

Пример 2. $\displaystyle y = 3x^{2} + bx + c$, корни 1 и $\displaystyle -4$. Найдите b и c. $\displaystyle x_{1} + x_{2} = -3 = -\frac{b}{3}$, $\displaystyle b = 9$. $\displaystyle x_{1}x_{2} = -4 = \frac{c}{3}$, $\displaystyle c = -12$.

Пример 3. Сколько действительных корней у $\displaystyle (x^{2} - 4x)(x^{2} + x + 1) = 0$? $\displaystyle x^{2} - 4x = x(x - 4) = 0$: корни 0 и 4. У $\displaystyle x^{2} + x + 1$ дискриминант $\displaystyle 1 - 4 < 0$, корней нет. Ответ: 2.

Метод интервалов

Для неравенства вида $\displaystyle (x - a)(x - b)\ldots \ge 0$ или дроби:

1. Найдите нули всех множителей (и нули знаменателя).
2. Отметьте их на прямой и определите знак на каждом промежутке подстановкой.
3. При переходе через корень чётной кратности (множитель в квадрате) знак не меняется.
4. Положительные множители вроде $\displaystyle 3^{x}$ или $\displaystyle x^{2} + 1$ можно отбросить сразу.

Пример 4. $\displaystyle (x + 2)(x - 1)^{2}(x - 4) \ge 0$. Нули: $\displaystyle -2$, 1, 4. Справа от 4 знак «+», между 1 и 4 «−», при переходе через 1 знак не меняется (квадрат) — тоже «−», левее $\displaystyle -2$ снова «+». Неравенство нестрогое, поэтому включаем нули: $\displaystyle x \le -2$, $\displaystyle x = 1$, $\displaystyle x \ge 4$. Изолированную точку $\displaystyle x = 1$ легко потерять!

Пример 5. Наибольшее целое решение $\displaystyle \frac{x^{2}(x + 1)}{5^{x}} \le 0$. $\displaystyle 5^{x} > 0$, значит нужно $\displaystyle x^{2}(x + 1) \le 0$. Это верно при $\displaystyle x \le -1$ и при $\displaystyle x = 0$ ($\displaystyle x^{2} = 0$). Наибольшее целое решение — 0.

Типичные ошибки

• Забыть, что $\displaystyle x^{2} \ge 0$ обращается в 0 при $\displaystyle x = 0$ и даёт отдельное решение.
• Делить неравенство на выражение, знак которого неизвестен.
• Путать $\displaystyle -\frac{b}{a}$ и $\displaystyle \frac{b}{a}$ в теореме Виета.