Производная: правила и геометрический смысл

Производная — тема, которой нет в основном тесте, но в предметном она встречается в каждом варианте: вычислить $\displaystyle f'(x)$, найти $\displaystyle f'$ в точке, понять знак производной по графику, найти точку с горизонтальной касательной.

Таблица производных

• $\displaystyle c' = 0$, $\displaystyle (kx + b)' = k$
• $\displaystyle (x^{n})' = n \times x^{n-1}$; например $\displaystyle (x^{5})' = 5x^{4}$, $\displaystyle (x^{-2})' = -2x^{-3}$
• $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}}$
• $\displaystyle (e^{x})' = e^{x}$, $\displaystyle (a^{x})' = a^{x} \times \ln a$
• $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $\displaystyle (\sin x)' = \cos x$, $\displaystyle (\cos x)' = -\sin x$, $\displaystyle (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^{2}x}$

Правила

• $\displaystyle (f + g)' = f' + g'$, $\displaystyle (c \times f)' = c \times f'$
• $\displaystyle (f \times g)' = f'g + fg'$
• $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}$
• Сложная функция: $\displaystyle (f(kx + b))' = k \times f'(kx + b)$; например $\displaystyle (\sin 3x)' = 3\cos 3x$, $\displaystyle (e^{2x})' = 2e^{2x}$

Совет: дроби вида $\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^{3}}$ удобнее переписать как $\displaystyle (x + 1)^{-3}$, а $\displaystyle \ln\left(\frac{1}{x}\right)$ или $\displaystyle \ln(x^{2})$ — упростить по свойствам логарифма до дифференцирования.

Разобранные примеры

Пример 1. $\displaystyle f(x) = \ln(x^{2})$. Так как $\displaystyle \ln(x^{2}) = 2 \ln\lvert x \rvert$, получаем $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{x}$.

Пример 2. $\displaystyle g(x) = \frac{1}{(x + 1)^{3}} = (x + 1)^{-3}$. $\displaystyle g'(x) = -3(x + 1)^{-4} = -\frac{3}{(x + 1)^{4}}$; $\displaystyle g'(1) = -\frac{3}{16}$.

Пример 3. Касательная к $\displaystyle y = x^{2} - 3x$ в точке $\displaystyle x_{0} = 2$. $\displaystyle f(2) = 4 - 6 = -2$, $\displaystyle f'(x) = 2x - 3$, $\displaystyle f'(2) = 1$. Уравнение касательной: $\displaystyle y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}) = -2 + (x - 2) = x - 4$.

Геометрический смысл

$\displaystyle f'(x_{0})$ — угловой коэффициент касательной в точке $\displaystyle x_{0}$, то есть тангенс угла её наклона к оси Ox.

• Касательная параллельна оси Ox $\displaystyle \Leftrightarrow f'(x_{0}) = 0$.
• Если $\displaystyle f'(x) > 0$ на промежутке, функция там возрастает; если $\displaystyle f'(x) < 0$ — убывает.
• В точках максимума и минимума гладкой функции $\displaystyle f' = 0$.

На рисунке $\displaystyle f(x) = \frac{x^{3}}{3} - x$, $\displaystyle f'(x) = x^{2} - 1$. Функция возрастает при $\displaystyle x < -1$ и $\displaystyle x > 1$ ($\displaystyle f' > 0$), убывает на $\displaystyle (-1;\ 1)$ ($\displaystyle f' < 0$), а в точках $\displaystyle x = \pm1$ касательная горизонтальна.

Пример 4. В каких точках графика $\displaystyle f(x) = \cos 3x$ касательная параллельна оси Ox? $\displaystyle f'(x) = -3 \sin 3x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi n}{3}$. Например, при $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$ точка графика $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3};\ -1\right)$.

Пример 5. По графику функции нужно выбрать отрицательное число среди $\displaystyle f'(a)$, $\displaystyle f'(b)$, $\displaystyle f'(c)$, $\displaystyle f'(d)$. Ищите точку, где график идёт вниз (слева направо). В вершине «горки» или «ямы» производная равна нулю, а не отрицательна.

Типичные ошибки

• Забыть множитель k у сложной функции: $\displaystyle (\sin 3x)' \ne \cos 3x$.
• Знак у $\displaystyle (\cos x)' = -\sin x$.
• Возводить отрицательное число в нечётную степень без знака: $\displaystyle (-3)^{3} = -27$, поэтому $\displaystyle -\frac{2}{(-3)^{3}} = \frac{2}{27}$.
• Путать знак функции и знак производной: функция может быть отрицательной и при этом возрастать.