Последовательности и прогрессии

В предметном тесте встречаются арифметическая и геометрическая прогрессии, а также последовательности, заданные правилом («каждый следующий член равен…»).

Арифметическая прогрессия

Каждый член получается прибавлением одного и того же числа d (разности).

• $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$
• $\displaystyle a_{m} - a_{k} = (m - k)d$
• $\displaystyle S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \times \frac{n}{2}$
• Каждый член — среднее арифметическое соседей: $\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Пример 1. $\displaystyle a_{3} = 7$, $\displaystyle a_{8} = 22$. Найдите $\displaystyle S_{10}$. $\displaystyle a_{8} - a_{3} = 5d = 15$, $\displaystyle d = 3$, $\displaystyle a_{1} = 7 - 2 \times 3 = 1$, $\displaystyle a_{10} = 1 + 9 \times 3 = 28$. $\displaystyle S_{10} = (1 + 28) \times \frac{10}{2} = 145$.

Геометрическая прогрессия

Каждый член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель), $\displaystyle q \ne 0$.

• $\displaystyle b_{n} = b_{1} \times q^{n-1}$
• $\displaystyle \frac{b_{m}}{b_{k}} = q^{m - k}$ — самая полезная формула для тестов
• $\displaystyle S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1}$ при $\displaystyle q \ne 1$
• Бесконечно убывающая ($\displaystyle \lvert q \rvert < 1$): $\displaystyle S = \frac{b_{1}}{1 - q}$
• $\displaystyle b_{n}^{2} = b_{n-1} \times b_{n+1}$

Пример 2. Седьмой член геометрической прогрессии в 2 раза больше четвёртого. Во сколько раз тринадцатый член больше четвёртого? $\displaystyle \frac{b_{7}}{b_{4}} = q^{3} = 2$. $\displaystyle \frac{b_{13}}{b_{4}} = q^{9} = (q^{3})^{3} = 8$. Ответ: в 8 раз. Заметьте: q искать не нужно, достаточно выразить нужную степень q через $\displaystyle q^{3}$.

Пример 3. $\displaystyle 3 + 6 + 12 + \ldots + 192$. $\displaystyle q = 2$, $\displaystyle 192 = 3 \times 64 = 3 \times 2^{6}$, значит членов 7. $\displaystyle S_{7} = 3 \times \frac{2^{7} - 1}{2 - 1} = 3 \times 127 = 381$.

Пример 4. $\displaystyle 12 + 6 + 3 + \ldots$ (бесконечно). $\displaystyle q = \frac{1}{2}$, $\displaystyle S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24$.

Последовательности, заданные правилом

Если формулы нет, просто выписывайте члены по порядку.

Пример 5. $\displaystyle a_{1} = 1$, $\displaystyle a_{2} = 2$, а каждый член, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Найдите $\displaystyle a_{6}$. $\displaystyle a_{3} = 1 \times 2 = 2$, $\displaystyle a_{4} = 2 \times 2 = 4$, $\displaystyle a_{5} = 2 \times 4 = 8$, $\displaystyle a_{6} = 4 \times 8 = 32$.

Пример 6. Каждый член, начиная со второго, на 3 меньше удвоенного предыдущего, $\displaystyle a_{1} = 5$. $\displaystyle a_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$, $\displaystyle a_{3} = 11$, $\displaystyle a_{4} = 19$, $\displaystyle a_{5} = 35$.

Типичные ошибки

• Считать номер члена с нуля: в $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ стоит $\displaystyle n - 1$.
• В задачах «во сколько раз» вычитать номера неверно: $\displaystyle \frac{b_{10}}{b_{4}} = q^{6}$, а не $\displaystyle q^{4}$.
• Путать «равен сумме двух предыдущих» и «равен сумме всех предыдущих». Перечитайте условие перед выписыванием членов.