Планиметрия: треугольники

Задания о треугольниках встречаются в каждом варианте: найти угол, сторону, синус угла или площадь, проверить, существует ли треугольник.

Основные факты

• Сумма углов треугольника $\displaystyle 180^{\circ}$; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В прямоугольном треугольнике: $\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2}$; катет против угла $\displaystyle 30^{\circ}$ равен половине гипотенузы; $\displaystyle \sin =$ противолежащий катет : гипотенуза, $\displaystyle \cos =$ прилежащий : гипотенуза, $\displaystyle \operatorname{tg} =$ противолежащий : прилежащий.
• Биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1 от вершины.

Теоремы синусов и косинусов

• Теорема синусов: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, R — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов: $\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \times \cos C$.
• Полезно: $\displaystyle \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь

• $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times a \times h$
• $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$ (C — угол между сторонами a и b)
• Так как $\displaystyle \sin C \le 1$, при данных сторонах a и b площадь не больше $\displaystyle \frac{1}{2}ab$, и максимум достигается при прямом угле.

Разобранные примеры

Пример 1. В равнобедренном треугольнике одна сторона 4 см, другая 9 см. Найдите периметр. Если боковые стороны по 4, то $\displaystyle 4 + 4 < 9$ — такого треугольника нет. Значит, стороны 9, 9, 4, периметр 22 см.

Пример 2. В треугольнике ABC $\displaystyle \angle A = 45^{\circ}$, $\displaystyle BC = 6$, $\displaystyle AB = 3$. Найдите радиус описанной окружности и $\displaystyle \sin C$. $\displaystyle 2R = \frac{BC}{\sin A} = 6 : \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$, $\displaystyle R = 3\sqrt{2}$. $\displaystyle \sin C = \frac{AB}{2R} = \frac{3}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Пример 3. Две стороны 5 и 8, угол между ними $\displaystyle 60^{\circ}$. Найдите площадь и третью сторону. $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. $\displaystyle c^{2} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 49$, $\displaystyle c = 7$.

Пример 4. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I, $\displaystyle \angle A = 70^{\circ}$, $\displaystyle \angle B = 50^{\circ}$. Найдите $\displaystyle \angle AIB$. $\displaystyle \angle IAB = 35^{\circ}$, $\displaystyle \angle IBA = 25^{\circ}$, $\displaystyle \angle AIB = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 25^{\circ} = 120^{\circ}$. Можно запомнить формулу $\displaystyle \angle AIB = 90^{\circ} + \frac{\angle C}{2} = 90^{\circ} + 30^{\circ}$.

Пример 5. Может ли треугольник со сторонами 10 и 7 иметь площадь 40? Нет: наибольшая площадь $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 7 = 35$.

Типичные ошибки

• В задаче про равнобедренный треугольник не проверить неравенство треугольника.
• Применять теорему синусов к стороне и не противолежащему ей углу.
• Если на рисунке отрезки делят два угла пополам, третий отрезок через ту же точку тоже биссектриса — это нужно заметить, а не «измерять» рисунок.