Планиметрия: четырёхугольники, окружность и многоугольники

Вторая большая часть геометрии в тесте — параллелограммы, трапеции, окружности, секторы и правильные многоугольники.

Параллелограмм

• Противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов $\displaystyle 180^{\circ}$.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• $\displaystyle S = a \times h = a \times b \times \sin \alpha$.

Пример 1. ABCD — параллелограмм, N — точка пересечения диагоналей, K на диагонали BD, $\displaystyle BK : KD = 1 : 3$, $\displaystyle BD = 8$. Найдите $\displaystyle \frac{DN}{NK}$. $\displaystyle BN = ND = 4$, $\displaystyle BK = 2$, значит $\displaystyle NK = 4 - 2 = 2$, $\displaystyle \frac{DN}{NK} = \frac{4}{2} = 2$. Удобный приём: принять длину отрезка за конкретное число, кратное всем долям.

Трапеция

• $\displaystyle S = \frac{a + b}{2} \times h$; средняя линия равна $\displaystyle \frac{a + b}{2}$.
• Диагонали трапеции образуют подобные треугольники BOC и DOA с коэффициентом BC : AD, поэтому $\displaystyle BO : OD = CO : OA = BC : AD$.

Пример 2. В трапеции $\displaystyle BC = 4$, $\displaystyle AD = 10$, $\displaystyle BO = 2$. Тогда $\displaystyle OD = 2 \times \frac{10}{4} = 5$, $\displaystyle BD = 7$.

Вписанная и описанная окружности

• В четырёхугольник можно вписать окружность $\displaystyle \Leftrightarrow$ суммы противоположных сторон равны: $\displaystyle AB + CD = BC + AD$.
• Около четырёхугольника можно описать окружность $\displaystyle \Leftrightarrow$ сумма противоположных углов $\displaystyle 180^{\circ}$.

Пример 3. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, $\displaystyle AB : CD = 5 : 3$, $\displaystyle BC = 7$, $\displaystyle AD = 9$. $\displaystyle AB + CD = 16$; $\displaystyle 5k + 3k = 16$, $\displaystyle k = 2$, $\displaystyle AB = 10$, $\displaystyle CD = 6$.

Окружность и сектор

• Длина окружности $\displaystyle 2\pi R$, площадь круга $\displaystyle \pi R^{2}$.
• Сектор с углом α: $\displaystyle S = \pi R^{2} \times \frac{\alpha}{360^{\circ}}$, длина дуги $\displaystyle \frac{\pi R\alpha}{180^{\circ}}$.
• Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Смежные центральные углы при диаметре дают в сумме $\displaystyle 180^{\circ}$.

Пример 4. Площадь сектора с углом $\displaystyle 40^{\circ}$ равна S. Площадь сектора того же круга с углом $\displaystyle 100^{\circ}$ равна $\displaystyle S \times \frac{100}{40} = \frac{5S}{2}$.

Пример 5. Площадь сектора $\displaystyle 90^{\circ}$ круга радиуса $\displaystyle R_{1}$ равна площади сектора $\displaystyle 40^{\circ}$ круга радиуса $\displaystyle R_{2}$. Найдите $\displaystyle \frac{R_{1}}{R_{2}}$. $\displaystyle \frac{\pi R_{1}^{2}}{4} = \pi R_{2}^{2} \times \frac{40}{360} = \frac{\pi R_{2}^{2}}{9}$, $\displaystyle \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = \frac{4}{9}$, $\displaystyle \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{2}{3}$.

Правильный шестиугольник

• Состоит из 6 правильных треугольников со стороной a; радиус описанной окружности равен a.
• Внутренний угол $\displaystyle 120^{\circ}$; $\displaystyle S = 6 \times \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$.
• Большая диагональ 2a, малая $\displaystyle a\sqrt{3}$.

Пример 6. При $\displaystyle a = 2$: $\displaystyle S = 6 \times \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$, большая диагональ 4, малая $\displaystyle 2\sqrt{3}$.

Типичные ошибки

• Путать условия вписанной окружности (стороны) и описанной (углы).
• Считать отношение площадей секторов по радиусам, а не по квадратам радиусов.
• Делать выводы «на глаз»: используйте только данные и свойства фигур.