Даражалар жана тамырлар: ЖРТ текшерген эрежелер

Даражага тиешелүү тапшырмалар тесттин эки бөлүгүндө тең кездешет. Дээрлик дайыма бир нече эреже жетиштүү.

Даражанын эрежелери

• $\displaystyle a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
• $\displaystyle a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$
• $\displaystyle (a^{m})^{n} = a^{mn}$
• $\displaystyle (ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ жана $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
• $\displaystyle a^{0} = 1$ ($\displaystyle a \ne 0$), $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
• $\displaystyle n$ жуп болсо $\displaystyle (-a)^{n} = a^{n}$, $\displaystyle n$ так болсо $\displaystyle (-a)^{n} = -a^{n}$

Тамырдын эрежелери

• $\displaystyle a, b \ge 0$ болгондо $\displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• $\displaystyle (\sqrt{a})^{2} = a$, $\displaystyle (k\sqrt{a})^{2} = k^{2} \times a$
• $\displaystyle \sqrt{a^{2}} = \lvert a \rvert$
• $\displaystyle a > 0$ болгондо $\displaystyle \sqrt{a^{n}}$ ди $\displaystyle a^{\frac{n}{2}}$ түрүндө жазса болот: $\displaystyle \sqrt{4^{x}} = 2^{x}$

Мисалдар

1-мисал. $\displaystyle (-2a^{2}b^{3})^{4} =$ ? Жуп даража минусту жоготот: $\displaystyle 2^{4} \times a^{8} \times b^{12} = 16a^{8}b^{12}$.

2-мисал. $\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{5} \times \left(\frac{8}{3}\right)^{5} =$ ? Көрсөткүчтөрү бирдей – негиздерин көбөйтөбүз: $\displaystyle \left(\frac{3}{4} \times \frac{8}{3}\right)^{5} = 2^{5} = 32$.

3-мисал. $\displaystyle (3\sqrt{0{,}4})^{2} =$ ? $\displaystyle 9 \times 0{,}4 = 3{,}6$.

4-мисал. Эгер $\displaystyle 6^{x} = 2^{x+2}$ болсо, $\displaystyle 3^{x} =$ ? $\displaystyle 6^{x} = 2^{x} \times 3^{x}$, $\displaystyle 2^{x+2} = 4 \times 2^{x}$. Эки бөлүгүн тең $\displaystyle 2^{x}$ ке бөлөбүз: $\displaystyle 3^{x} = 4$.

5-мисал. Эгер $\displaystyle 3^{a} : 3^{b} = 3^{12}$ жана $\displaystyle a + b = 20$ болсо, $\displaystyle a =$ ? $\displaystyle a - b = 12$ жана $\displaystyle a + b = 20$, кошобуз: $\displaystyle 2a = 32$, $\displaystyle a = 16$.

6-мисал. Эгер $\displaystyle \sqrt{25^{x}} = 125$ болсо, $\displaystyle x =$ ? $\displaystyle \sqrt{25^{x}} = 5^{x}$, $\displaystyle 5^{x} = 125 = 5^{3}$, $\displaystyle x = 3$.

Көп кетирилген каталар

• Даражаларды кошкондо көрсөткүчтөрдү кошуу: $\displaystyle 2^{3} + 2^{3} = 16 = 2^{4}$, $\displaystyle 2^{6}$ эмес.
• Минусту жоготуу: $\displaystyle (-x^{3})^{5} = -x^{15}$, ал эми $\displaystyle (-x^{3})^{6} = x^{18}$.
• $\displaystyle (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ деп эсептөө.