Бөлүнүүчүлүк, жуп-так сандар жана калдыктар

Бүтүн сандар жөнүндөгү тапшырмалар бардык маанилерди текшерүү менен эмес, ой жүгүртүү менен чыгарылат. Жооп варианттарынын көбүн бир эле касиет менен – жуп-тактык же бөлүнүүчүлүк менен – четтетсе болот.

Жуп жана так сандар

• жуп ± жуп = жуп; так ± так = жуп; жуп ± так = так;
• көбөйтүүчүлөрдүн жок дегенде бири жуп болсо, көбөйтүндү жуп;
• катар турган эки бүтүн сандын көбөйтүндүсү $\displaystyle n(n + 1)$ дайыма жуп;
• $\displaystyle 2a + 1$ дайыма так, $\displaystyle 2a$ дайыма жуп.

Калдыктар

• Сан $\displaystyle m$ ге бөлүнгөндө $\displaystyle r$ калдык берсе, аны $\displaystyle m \times k + r$ түрүндө жазса болот.
• Сумманын (көбөйтүндүнүн) калдыгы калдыктардын суммасынын (көбөйтүндүсүнүн) калдыгына барабар.

Бөлүнүүчүлүктүн белгилери

• 2ге – акыркы цифрасы жуп; 5ке – акыркы цифрасы 0 же 5; 10го – акыркы цифрасы 0;
• 3кө (9га) – цифраларынын суммасы 3кө (9га) бөлүнөт;
• $\displaystyle x$ жана $\displaystyle y$ цифраларынан турган эки орундуу сан $\displaystyle 10x + y$ ке барабар. Ошол эле цифралар тескери иретте жазылган сан менен суммасы $\displaystyle 11(x + y)$, айырмасы $\displaystyle 9(x - y)$.

Мисалдар

1-мисал. $\displaystyle m$ – так, $\displaystyle n$ – жуп. Төмөнкүлөрдүн кайсылары жуп: $\displaystyle m + n$, $\displaystyle mn$, $\displaystyle m^{2} + 1$, $\displaystyle m + 2n$? $\displaystyle m + n$ – так; $\displaystyle mn$ – жуп (жуп көбөйтүүчү бар); $\displaystyle m^{2}$ так, $\displaystyle m^{2} + 1$ – жуп; $\displaystyle 2n$ жуп, $\displaystyle m + 2n$ – так. Жуптары: $\displaystyle mn$ жана $\displaystyle m^{2} + 1$.

2-мисал. $\displaystyle n$ саны 7ге бөлүнгөндө 4 калдык берет. $\displaystyle n + 1$, $\displaystyle n + 2$, $\displaystyle n + 3$, $\displaystyle n + 4$ сандарынын кайсынысы 7ге калдыксыз бөлүнөт? $\displaystyle n = 7k + 4$, $\displaystyle n + 3 = 7k + 7 = 7(k + 1)$. Жооп: $\displaystyle n + 3$.

3-мисал. $\displaystyle x = 6a + 5$, $\displaystyle y = 6b + 2$ ($\displaystyle a$, $\displaystyle b$ – бүтүн сандар). $\displaystyle xy$ ти 6га бөлгөндөгү калдыкты табыңыз. Калдыктар 5 жана 2, алардын көбөйтүндүсү 10, ал эми 10ду 6га бөлгөндө калдык 4.

4-мисал. Эки орундуу сан менен ошол эле цифралар тескери иретте жазылган сандын айырмасы төмөнкүлөрдүн кайсынысы болушу мүмкүн: 34, 45, 50, 62? Айырма $\displaystyle 9(x - y)$, башкача айтканда 9га бөлүнөт. Жалгыз 45 туура келет.

Көп кетирилген каталар

• «Бардык бүтүн $\displaystyle a$ үчүн» деген ырастоону бир эле сан менен текшерүү. Жокко чыгаруу үчүн бир мисал жетиштүү ($\displaystyle a = 0$ көп учурда $\displaystyle a^{2} < a$ ны жокко чыгарат), ал эми далилдөө үчүн ой жүгүртүү керек.
• 0 жуп сан экенин унутуу.