Уравнения с модулем, степенями и целыми решениями

Модуль

$\displaystyle \lvert a \rvert$ – расстояние от $\displaystyle a$ до нуля на числовой прямой, поэтому $\displaystyle \lvert a \rvert \ge 0$.

• Уравнение $\displaystyle \lvert x - a \rvert = b$ при $\displaystyle b > 0$ имеет два корня: $\displaystyle x = a + b$ и $\displaystyle x = a - b$.
• При $\displaystyle b = 0$ – один корень, при $\displaystyle b < 0$ корней нет.
• Если по условию $\displaystyle x < 0$ или $\displaystyle x > 0$, лишний корень отбрасывают.

Пример 1. $\displaystyle \lvert x - 3 \rvert = 5$, $\displaystyle x < 0$. Найдите $\displaystyle x$. $\displaystyle x = 8$ или $\displaystyle x = -2$. Подходит $\displaystyle x = -2$.

Пример 2. $\displaystyle \lvert x \rvert + x = 6$. Найдите $\displaystyle x$. Если $\displaystyle x < 0$, то $\displaystyle \lvert x \rvert + x = 0 \ne 6$. Значит $\displaystyle x \ge 0$, $\displaystyle 2x = 6$, $\displaystyle x = 3$.

Показательные уравнения

Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели.

Пример 3. $\displaystyle 2^{x+1} = 32$. $\displaystyle 32 = 2^{5}$, $\displaystyle x + 1 = 5$, $\displaystyle x = 4$.

Пример 4. $\displaystyle \sqrt{16^{x}} = 64$. $\displaystyle \sqrt{16^{x}} = 4^{x}$, $\displaystyle 64 = 4^{3}$, $\displaystyle x = 3$.

Пример 5. $\displaystyle 10^{x} = 5^{x+1}$. Найдите $\displaystyle 2^{x}$. $\displaystyle 10^{x} = 2^{x} \times 5^{x}$, $\displaystyle 5^{x+1} = 5 \times 5^{x}$. Делим на $\displaystyle 5^{x}$: $\displaystyle 2^{x} = 5$.

Целые решения

Если $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ – целые положительные числа, выразите одну переменную и подумайте о делимости.

Пример 6. $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ – целые положительные, $\displaystyle 2x + 5y = 60$. Найдите наибольшее $\displaystyle y$. $\displaystyle y = \frac{60 - 2x}{5}$. $\displaystyle y$ тем больше, чем меньше $\displaystyle x$, а $\displaystyle 2x$ должно делиться на 5, то есть $\displaystyle x$ кратно 5. Наименьшее $\displaystyle x = 5$: $\displaystyle y = \frac{50}{5} = 10$.

Пример 7. Сколько пар целых положительных $\displaystyle (x; y)$ удовлетворяют $\displaystyle x + 2y = 9$? $\displaystyle y$ может быть 1, 2, 3, 4 (тогда $\displaystyle x = 7, 5, 3, 1$). Всего 4 пары.

Типичные ошибки

• Терять второй корень уравнения с модулем.
• Забывать про ограничение «$\displaystyle x > 0$» или «целые положительные».
• Брать $\displaystyle x = 0$, когда числа должны быть положительными.