Сравнение с условием: уравнения, неравенства и отношения

Во многих заданиях над колонками дано условие: уравнение, неравенство или отношение. Задача – извлечь из него как можно больше информации о буквах.

Что делать с условием

• Уравнение – решите его или выразите одну букву через другую и подставьте в колонки.
• Неравенство – решите его. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Отношение $\displaystyle \frac{a}{b} = k$ – замените $\displaystyle a$ на $\displaystyle k \times b$. Тогда в колонках останется одна буква, и она часто сокращается.
• Среднее арифметическое – переведите в сумму: если среднее $\displaystyle n$ чисел равно $\displaystyle m$, их сумма $\displaystyle n \times m$.
• Знаки множителей – произведение двух чисел одного знака положительно, разных знаков – отрицательно.

Примеры

Пример 1. Условие: $\displaystyle 3x - 5 = 10$. Колонка А: $\displaystyle 2x + 1$. Колонка Б: 12. $\displaystyle 3x = 15$, $\displaystyle x = 5$, тогда $\displaystyle 2x + 1 = 11 < 12$. Ответ: Б.

Пример 2. Условие: $\displaystyle 5 - 3x > 11$. Колонка А: $\displaystyle x$. Колонка Б: −2. $\displaystyle -3x > 6$. Делим на −3 и меняем знак: $\displaystyle x < -2$. Ответ: Б.

Пример 3. Условие: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{2}{5}$. Колонка А: $\displaystyle 5a - 2b$. Колонка Б: 0. Из $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ следует $\displaystyle 5a = 2b$, значит $\displaystyle 5a - 2b = 0$. Ответ: В.

Пример 4. Условие: среднее арифметическое трёх чисел равно 7, среднее двух других чисел равно 12. Колонка А: среднее всех пяти чисел. Колонка Б: 9. Суммы: $\displaystyle 3 \times 7 = 21$ и $\displaystyle 2 \times 12 = 24$. Среднее пяти: $\displaystyle \frac{21 + 24}{5} = \frac{45}{5} = 9$. Ответ: В.

Пример 5. Условие: $\displaystyle x < 0 < y$. Колонка А: $\displaystyle xy$. Колонка Б: $\displaystyle x + y$. $\displaystyle xy$ всегда отрицательно, а знак суммы неизвестен. Проверим: $\displaystyle x = -1$, $\displaystyle y = 5$: $\displaystyle xy = -5$, $\displaystyle x + y = 4$, больше Б. $\displaystyle x = -3$, $\displaystyle y = \frac{1}{2}$: $\displaystyle xy = -1{,}5$, $\displaystyle x + y = -2{,}5$, больше А. Ответ: Г.

Пример 6. Условие: $\displaystyle \frac{p}{q} = \frac{1}{4}$, $\displaystyle q \ne 0$. Колонка А: $\displaystyle \frac{4p + q}{4q + p}$. Колонка Б: $\displaystyle \frac{1}{2}$. $\displaystyle q = 4p$: $\displaystyle \frac{4p + 4p}{16p + p} = \frac{8p}{17p} = \frac{8}{17}$. Сравним $\displaystyle \frac{8}{17}$ и $\displaystyle \frac{1}{2}$: $\displaystyle 16 < 17$, поэтому $\displaystyle \frac{8}{17} < \frac{1}{2}$. Ответ: Б.

Типичные ошибки

• Не перевернуть знак неравенства при делении на отрицательное число.
• Сократить на букву, которая может быть равна нулю или отрицательна.
• Сразу выбирать Г, если в задании есть буквы: часто условие однозначно определяет ответ, как в примерах 1–4.