Новые операции, формулы и определения в условии

В ОРТ часто вводят незнакомое обозначение прямо в условии: новую операцию, факториал, последовательность, статистическую характеристику. Ничего заранее знать не нужно – надо аккуратно применить данное правило.

Как работать

• Прочитайте определение и выпишите, что подставляется вместо каждой буквы.
• Порядок важен: $\displaystyle a \square b$ и $\displaystyle b \square a$ обычно дают разные результаты.
• Не считайте огромные числа: сокращайте. Например, $\displaystyle \frac{n!}{(n - 1)!} = n$, а $\displaystyle \frac{n!}{(n - 2)!} = n \times (n - 1)$.
• Полезные значения: $\displaystyle \log_{2} 1 = \log_{3} 1 = 0$, $\displaystyle \log_{a} a = 1$, $\displaystyle \operatorname{tg} 180^{\circ} = 0$, $\displaystyle \sin 90^{\circ} = 1$, $\displaystyle \cos 90^{\circ} = 0$.

Примеры

Пример 1. Для любых чисел $\displaystyle a \diamond b = a^{2} - b$. Колонка А: $\displaystyle 2 \diamond 3$. Колонка Б: $\displaystyle 3 \diamond 2$. $\displaystyle 2 \diamond 3 = 4 - 3 = 1$, $\displaystyle 3 \diamond 2 = 9 - 2 = 7$. Ответ: Б.

Пример 2. $\displaystyle n! = 1 \times 2 \times \ldots \times n$. Колонка А: $\displaystyle \frac{10!}{8!}$. Колонка Б: $\displaystyle \frac{9!}{7!}$. $\displaystyle \frac{10!}{8!} = 9 \times 10 = 90$, $\displaystyle \frac{9!}{7!} = 8 \times 9 = 72$. Ответ: А.

Пример 3. Последовательность задана формулой $\displaystyle a_{n} = (-1)^{n} \times n$. Колонка А: $\displaystyle a_{10}$. Колонка Б: $\displaystyle a_{11}$. $\displaystyle a_{10} = 10$, $\displaystyle a_{11} = -11$. Ответ: А.

Пример 4. Колонка А: $\displaystyle \log_{3} 27 + \log_{3} 1$. Колонка Б: 3. $\displaystyle \log_{3} 27 = 3$ (так как $\displaystyle 3^{3} = 27$), $\displaystyle \log_{3} 1 = 0$. Ответ: В.

Пример 5. Размах ряда – разность между наибольшим и наименьшим числом. Ряд: 4; −2; 7; 0; 3. Колонка А: размах ряда. Колонка Б: среднее арифметическое ряда. Размах: $\displaystyle 7 - (-2) = 9$. Среднее: $\displaystyle \frac{4 - 2 + 7 + 0 + 3}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4$. Ответ: А.

Пример 6. $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$ – углы треугольника. Колонка А: $\displaystyle \sin(\alpha + \beta + \gamma)$. Колонка Б: 0. $\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$, $\displaystyle \sin 180^{\circ} = 0$. Ответ: В.

Типичные ошибки

• Переставить $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ в формуле новой операции.
• Вычислять факториалы целиком вместо сокращения.
• В размахе забыть знак: $\displaystyle 7 - (-2) = 9$, а не 5.