Модулдуу, даражалуу теңдемелер жана бүтүн чечимдер

Модуль

$\displaystyle \lvert a \rvert$ – сан огунда $\displaystyle a$ дан нөлгө чейинки аралык, ошондуктан $\displaystyle \lvert a \rvert \ge 0$.

• $\displaystyle b > 0$ болгондо $\displaystyle \lvert x - a \rvert = b$ теңдемесинин эки тамыры бар: $\displaystyle x = a + b$ жана $\displaystyle x = a - b$.
• $\displaystyle b = 0$ болгондо бир тамыр, $\displaystyle b < 0$ болгондо тамыр жок.
• Шартта $\displaystyle x < 0$ же $\displaystyle x > 0$ деп берилсе, ага туура келбеген тамыр четке кагылат.

1-мисал. $\displaystyle \lvert x - 3 \rvert = 5$, $\displaystyle x < 0$. $\displaystyle x$ ти табыңыз. $\displaystyle x = 8$ же $\displaystyle x = -2$. $\displaystyle x = -2$ туура келет.

2-мисал. $\displaystyle \lvert x \rvert + x = 6$. $\displaystyle x$ ти табыңыз. $\displaystyle x < 0$ болсо, $\displaystyle \lvert x \rvert + x = 0 \ne 6$. Демек $\displaystyle x \ge 0$, $\displaystyle 2x = 6$, $\displaystyle x = 3$.

Көрсөткүчтүү теңдемелер

Эки бөлүктү тең бир негизге келтирип, көрсөткүчтөрүн барабарлаңыз.

3-мисал. $\displaystyle 2^{x+1} = 32$. $\displaystyle 32 = 2^{5}$, $\displaystyle x + 1 = 5$, $\displaystyle x = 4$.

4-мисал. $\displaystyle \sqrt{16^{x}} = 64$. $\displaystyle \sqrt{16^{x}} = 4^{x}$, $\displaystyle 64 = 4^{3}$, $\displaystyle x = 3$.

5-мисал. $\displaystyle 10^{x} = 5^{x+1}$. $\displaystyle 2^{x}$ ти табыңыз. $\displaystyle 10^{x} = 2^{x} \times 5^{x}$, $\displaystyle 5^{x+1} = 5 \times 5^{x}$. $\displaystyle 5^{x}$ ке бөлөбүз: $\displaystyle 2^{x} = 5$.

Бүтүн чечимдер

$\displaystyle x$ жана $\displaystyle y$ бүтүн оң сандар болсо, бир өзгөрмөнү туюнтуп, бөлүнүүчүлүк жөнүндө ойлонуңуз.

6-мисал. $\displaystyle x$ жана $\displaystyle y$ – бүтүн оң сандар, $\displaystyle 2x + 5y = 60$. $\displaystyle y$ тин эң чоң маанисин табыңыз. $\displaystyle y = \frac{60 - 2x}{5}$. $\displaystyle x$ канчалык кичине болсо, $\displaystyle y$ ошончолук чоң, ал эми $\displaystyle 2x$ 5ке бөлүнүшү керек, башкача айтканда $\displaystyle x$ 5ке эселүү. Эң кичине $\displaystyle x = 5$: $\displaystyle y = \frac{50}{5} = 10$.

7-мисал. $\displaystyle x + 2y = 9$ теңдемесин бүтүн оң сандардын канча $\displaystyle (x; y)$ жубу канааттандырат? $\displaystyle y$ 1, 2, 3, 4 болушу мүмкүн (анда $\displaystyle x = 7, 5, 3, 1$). Бардыгы 4 жуп.

Көп кетирилген каталар

• Модулдуу теңдеменин экинчи тамырын жоготуу.
• «$\displaystyle x > 0$» же «бүтүн оң» деген чектөөнү унутуу.
• Сандар оң болушу керек болгондо $\displaystyle x = 0$ алуу.