Координаты и пространственные фигуры

Координатная плоскость

• Отрезок, параллельный оси Ox, соединяет точки с одинаковой ординатой $\displaystyle y$. Его длина – разность абсцисс. На рисунке AB: $\displaystyle 4 - (-3) = 7$.
• Отрезок, параллельный оси Oy, соединяет точки с одинаковой абсциссой. BC: $\displaystyle 2 - (-3) = 5$.
• Расстояние между точками: $\displaystyle \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$. $\displaystyle AC = \sqrt{7^{2} + 5^{2}} = \sqrt{74}$.
• Середина отрезка: $\displaystyle \left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\right)$. Середина AC: (0,5; −0,5).

Пример 1. Достройте ABC до прямоугольника ABCD. Найдите D, периметр и площадь. $\displaystyle D(-3; -3)$. Периметр $\displaystyle 2 \times (7 + 5) = 24$, площадь $\displaystyle 7 \times 5 = 35$.

Пример 2. Точки $\displaystyle M(5; -1)$ и $\displaystyle N(-2; y)$ лежат на прямой, параллельной оси Ox. Найдите $\displaystyle y$. У всех точек такой прямой одинаковая ордината: $\displaystyle y = -1$.

Пространственные координаты

Точка $\displaystyle (x; y; z)$ лежит внутри куба $\displaystyle 0 \le x \le 1$, $\displaystyle 0 \le y \le 1$, $\displaystyle 0 \le z \le 1$, если все три координаты между 0 и 1. Если куб построен в сторону отрицательной оси, соответствующая координата должна быть между −1 и 0.

Многогранники

• $\displaystyle n$-угольная призма: $\displaystyle 2n$ вершин, $\displaystyle 3n$ рёбер, $\displaystyle n + 2$ граней. Число рёбер призмы делится на 3.
• $\displaystyle n$-угольная пирамида: $\displaystyle n + 1$ вершин, $\displaystyle 2n$ рёбер, $\displaystyle n + 1$ граней. Число рёбер пирамиды чётное.
• Объём призмы $\displaystyle S \times h$, объём пирамиды $\displaystyle \frac{1}{3} \times S \times h$.

Тела вращения

• Цилиндр: площадь основания $\displaystyle \pi r^{2}$, боковая поверхность $\displaystyle 2\pi rh$, объём $\displaystyle \pi r^{2}h$.
• Конус: объём $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h$.
• Шар: объём $\displaystyle \frac{4}{3} \times \pi r^{3}$.

Пример 3. Высота цилиндра вдвое больше радиуса основания, площадь основания 12. Найдите площадь боковой поверхности. $\displaystyle \pi r^{2} = 12$, $\displaystyle h = 2r$. Боковая поверхность $\displaystyle 2\pi r \times 2r = 4\pi r^{2} = 4 \times 12 = 48$. Находить $\displaystyle r$ не нужно.

Пример 4. Может ли у пирамиды быть 15 рёбер? Нет: у пирамиды $\displaystyle 2n$ рёбер, это чётное число.

Типичные ошибки

• Складывать координаты вместо вычитания при поиске длины.
• Путать боковую поверхность цилиндра $\displaystyle 2\pi rh$ и объём $\displaystyle \pi r^{2}h$.