Функции и последовательности

Функции

Запись $\displaystyle f(3)$ означает: подставь 3 вместо $\displaystyle x$ в формулу функции.

• Линейная функция $\displaystyle f(x) = kx + b$. $\displaystyle f(0) = b$, $\displaystyle f(1) = k + b$.
• Если известно одно значение, например $\displaystyle f(2)$, из него находят неизвестный коэффициент.
• Если дано f(выражение) = …, подберите $\displaystyle x$ так, чтобы выражение в скобках стало нужным числом.

Пример 1. $\displaystyle f(x) = 3x - b$, $\displaystyle f(2) = 1$. Найдите $\displaystyle f(4)$. $\displaystyle 6 - b = 1$, $\displaystyle b = 5$. $\displaystyle f(4) = 12 - 5 = 7$.

Пример 2. Для всех $\displaystyle x$ выполнено $\displaystyle f(x - 1) = x^{2}$. Найдите $\displaystyle f(3)$. $\displaystyle x - 1 = 3$ при $\displaystyle x = 4$, поэтому $\displaystyle f(3) = 4^{2} = 16$.

Последовательности

• Арифметическая прогрессия: каждый член больше предыдущего на $\displaystyle d$. $\displaystyle a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$.
• Геометрическая прогрессия: каждый член больше предыдущего в $\displaystyle q$ раз. $\displaystyle b_{n} = b_{1} \times q^{n-1}$.
• Рекуррентное правило («каждый следующий член равен…») применяют шаг за шагом.

Пример 3. $\displaystyle a_{1} = 4$, $\displaystyle d = 3$. Найдите $\displaystyle a_{10}$. $\displaystyle a_{10} = 4 + 9 \times 3 = 31$.

Пример 4. Каждый следующий член последовательности равен удвоенному предыдущему минус 3. Третий член равен 5. Найдите пятый. $\displaystyle a_{4} = 2 \times 5 - 3 = 7$, $\displaystyle a_{5} = 2 \times 7 - 3 = 11$.

Пример 5. В первый месяц вклад приносит $\displaystyle a$ сомов, а каждый следующий месяц – в $\displaystyle q$ раз больше, чем в предыдущий. Сколько он принесёт в шестой месяц? $\displaystyle a$, $\displaystyle aq$, $\displaystyle aq^{2}$, $\displaystyle aq^{3}$, $\displaystyle aq^{4}$, $\displaystyle aq^{5}$. Ответ: $\displaystyle aq^{5}$.

Типичные ошибки

• В геометрической прогрессии брать показатель $\displaystyle n$ вместо $\displaystyle n - 1$: шестой член – это $\displaystyle aq^{5}$.
• В задаче с f(выражение) подставлять число прямо вместо $\displaystyle x$.